Algebraic Extension

释义 Definition

代数扩张 / 代数扩域：在域论中，若域扩张 \(L/K\) 满足 \(L\) 中每个元素都在 \(K\) 上是代数的（即每个元素都满足某个以 \(K\) 为系数的非零多项式方程），则称 \(L/K\) 为代数扩张。常见情形包括添加某个代数数得到的扩域。
（注：与之相对的是 超越扩张，其中存在不满足任何此类多项式方程的元素。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌældʒəˈbreɪ.ɪk ɪkˈstɛn.ʃən/

例句 Examples

An algebraic extension of a field is generated by algebraic elements.
域的代数扩张由代数元素生成。

If \(L/K\) is an algebraic extension, then every element of \(L\) satisfies a nonzero polynomial with coefficients in \(K\), which allows many problems to be reduced to studying minimal polynomials and degrees.
如果 \(L/K\) 是代数扩张，那么 \(L\) 中每个元素都满足一个系数在 \(K\) 中的非零多项式，这使得许多问题可以化归为研究最小多项式与扩张次数等概念。

词源 Etymology

algebraic 来自 algebra（代数），而 algebra 源于阿拉伯语 al-jabr（意为“复原/配平”，与早期方程移项、整理有关），后经拉丁语传播到欧洲语言中；extension 来自拉丁语 extendere（“伸展、扩展”）。合起来 algebraic extension 字面即“代数意义下的扩张”，在现代数学中专指“由代数元素构成的域扩张”。

相关词 Related Words

• Algebra
• Field
• Extension
• Algebraic Element
• Transcendental Extension
• Minimal Polynomial
• Degree
• Finite Extension
• Splitting Field
• Normal Extension
• Separable Extension
• Galois Group

文学与著作中的用例 Literary Works

• Abstract Algebra（Dummit & Foote），在域扩张章节系统使用并讨论 “algebraic extension”。
• Algebra（Serge Lang），在域论与伽罗瓦理论相关部分频繁出现该术语。
• Galois Theory（Ian Stewart 或 Joseph Rotman 等版本），用 “algebraic extension” 作为伽罗瓦对应的基础语言。
• Algebraic Number Theory（Jürgen Neukirch），在数域（有限代数扩张）与其性质讨论中大量使用该概念。