Farey Sequence

定义 Definition

Farey 序列（Farey sequence）：在0 到 1之间，把所有分母不超过 n、且已约分的有理数按从小到大排列得到的序列，记作 Fₙ。相邻两项通常具有重要性质（如相邻分数满足特定的行列式关系），并常用于数论与分数逼近研究。（该术语也出现在更广泛的“Farey 图/Farey 邻接”语境中。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈfɛəri ˈsiːkwəns/

例句 Examples

The Farey sequence of order 5 lists all reduced fractions between 0 and 1 with denominators up to 5.
5 阶 Farey 序列列出了 0 到 1 之间所有分母不超过 5 的既约分数。

In number theory, properties of neighboring terms in a Farey sequence help analyze rational approximations and connections to continued fractions.
在数论中，Farey 序列相邻项的性质有助于分析有理逼近，并揭示其与连分数之间的联系。

词源 Etymology

“Farey 序列”以英国地质学家 John Farey（约 1766–1826） 命名。他在 1816 年的一篇短文中提出了关于这些分数序列相邻项的观察；随后数学家（如 Cauchy）对相关性质给出更系统的证明与发展，因此该序列沿用“Farey”的姓氏作为名称。

相关词 Related Words

• Number Theory
• Rational
• Fraction
• Denominator
• Mediant
• Continued Fraction
• Stern-Brocot Tree
• Diophantine Approximation

文献与作品 Literary / Notable Works

• G. H. Hardy & E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers（数论经典教材，讨论与 Farey 序列相关的有理数结构与性质）
• Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory（解析数论教材中常涉及与 Farey 序列相近的分数与数论工具）
• Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman & Hugh L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers（常见数论教材版本之一，包含相关分数序列与逼近思想）
• Martin Gardner（科普写作中多次触及分数结构、连分数与相关数论主题；部分文章会提到或引向 Farey 序列与其应用）