Eigenspace

定义 Definition

eigenspace（特征子空间）：在线性代数中，给定线性变换或矩阵 \(A\) 与某个特征值 \(\lambda\)，所有满足 \(A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}\) 的向量 \(\mathbf{v}\)（再加上零向量）所构成的向量空间。它描述了在该变换下“只被按比例伸缩”的方向集合。
（注：相关概念还包括 eigenvector 特征向量、eigenvalue 特征值等。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈaɪɡənˌspeɪs/

例句 Examples

The eigenspace for this eigenvalue is two-dimensional.
这个特征值对应的特征子空间是二维的。

To diagonalize the matrix, we find a basis made of vectors from each eigenspace and check whether their dimensions add up to the full space.
为了将矩阵对角化，我们从每个特征子空间中选取向量构成一组基，并检查这些子空间的维数之和是否覆盖整个空间。

词源 Etymology

eigen- 来自德语 eigen，意为“自身的、固有的”。19世纪末到20世纪初，数学家在研究线性变换的“固有方向与固有比例”时，将相关概念引入英文术语体系，形成 eigenvalue / eigenvector / eigenspace，强调这些对象是变换“内在决定”的结构。

相关词 Related Words

• Eigenvalue
• Eigenvector
• Diagonalization
• Invariant Subspace
• Kernel
• Spectrum
• Linear Transformation

文学与经典著作 Literary Works

• Linear Algebra Done Right（Sheldon Axler）：在讨论特征值、特征向量与对角化时系统使用 eigenspace。
• Introduction to Linear Algebra（Gilbert Strang）：在特征分解与应用（如微分方程、数据分析）章节中频繁出现 eigenspace。
• Linear Algebra（Hoffman & Kunze）：以更偏理论的方式使用 eigenspace 来描述线性算子的结构分解。