Coordinate Ring

定义 Definition

坐标环：代数几何中的核心概念。给定一个（仿射）代数集合/簇 \(V\subseteq k^n\)，其坐标环通常指 \[ k[V]=k[x_1,\dots,x_n]/I(V), \] 也就是用多项式环对“在 \(V\) 上恒为零”的多项式理想 \(I(V)\) 取商得到的环；可理解为“\(V\) 上的正则函数（多项式函数）所组成的环”。

发音 Pronunciation (IPA)

/koʊˈɔːrdɪnət rɪŋ/
/kəʊˈɔːdɪnət rɪŋ/

例句 Examples

The coordinate ring of a line is simpler than that of a curve.
直线的坐标环通常比曲线的坐标环更简单。

In algebraic geometry, studying the coordinate ring often reveals the geometric structure of an affine variety through its ideals.
在代数几何中，研究坐标环往往能通过其中的理想揭示一个仿射簇的几何结构。

词源 Etymology

coordinate 源自拉丁语 *co-*（共同）+ ordinare（排列、使有秩序），表示“坐标（共同确定位置的量）”；ring 在数学中指“环”，是对一类带加法与乘法运算的代数结构的称呼。合在一起，coordinate ring 字面义是“坐标所对应的环”，引申为“用坐标（多项式）描述几何对象时得到的函数环”。

相关词 Related Words

• Affine Variety
• Algebraic Geometry
• Polynomial Ring
• Ideal
• Quotient Ring
• Commutative Ring
• Spectrum
• Regular Function

文学与经典著作 Literary Works

• Algebraic Geometry — Robin Hartshorne（常在仿射簇与函数环/坐标环的对应中使用该术语）
• Ideals, Varieties, and Algorithms — David Cox, John Little, Donal O’Shea（以计算视角频繁讨论坐标环与理想）
• Introduction to Commutative Algebra — M.F. Atiyah & I.G. Macdonald（与坐标环密切相关的交换代数基础）
• Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry — David Eisenbud（从交换代数通往坐标环与几何的经典路径）