Convergence in Distribution

释义 Definition

分布收敛（也常称“弱收敛”）：指一列随机变量 \(X_n\) 的分布函数 \(F_{X_n}(x)\) 在所有 \(F_X(x)\) 的连续点处收敛到某个随机变量 \(X\) 的分布函数 \(F_X(x)\)。记作
\[ X_n \xrightarrow{d} X. \]
它描述的是“整体分布形状”趋于某个极限分布，不一定表示样本值本身逐点接近。该术语在极限定理（如中心极限定理）中非常常见。（此词组在不同语境下也可能简写为 convergence in law。）

发音 Pronunciation (IPA)

/kənˈvɜːrdʒəns ɪn ˌdɪstrɪˈbjuːʃən/

词源 Etymology

convergence 来自拉丁语词根，含义为“聚到一起、汇合”；distribution 源于拉丁语，意为“分配、分布”。合在一起在概率论里表示：随机变量的“概率分布”逐渐“汇合”到某个极限分布。

例句 Examples

As the sample size increases, \(X_n\) converges in distribution to a normal random variable.
随着样本量增加，\(X_n\) 在分布意义下收敛到一个正态随机变量。

If \(X_n\) converges in distribution to \(X\) and \(g\) is continuous, then \(g(X_n)\) also converges in distribution to \(g(X)\).
如果 \(X_n\) 在分布意义下收敛到 \(X\)，且 \(g\) 连续，那么 \(g(X_n)\) 也在分布意义下收敛到 \(g(X)\)。

相关词 Related Words

• Weak Convergence
• Convergence In Probability
• Almost Sure Convergence
• Convergence In Law
• Distribution Function
• Random Variable
• Central Limit Theorem
• Slutsky’s Theorem
• Continuous Mapping Theorem
• Tightness

文学与著作 Literary Works

• Patrick Billingsley, Convergence of Probability Measures（系统讨论弱收敛/分布收敛的经典专著）
• Rick Durrett, Probability: Theory and Examples（在极限定理与弱收敛章节频繁使用该概念）
• Aad van der Vaart, Asymptotic Statistics（统计渐近理论中以分布收敛为核心工具）
• Geoffrey Grimmett & David Stirzaker, Probability and Random Processes（概率与随机过程教材中介绍分布收敛与相关定理）