Coefficient Extraction

Definition / 定义

coefficient extraction（系数提取）：指在代数式、（形式）幂级数或生成函数中，取出某一项对应的系数的过程与方法，常写作“取 \([x^n]\)”来表示“\(x^n\) 的系数”。在组合数学、信号处理与计算机代数中很常见。（也可泛指从任何展开式中“读出/计算出”特定项系数。）

Pronunciation / 发音

/ˌkoʊ.əˈfɪʃ.ənt ɪkˈstræk.ʃən/

Examples / 例句

We use coefficient extraction to find the number of ways to choose \(k\) items.
我们用系数提取来求选取 \(k\) 个物品的方案数。

After expanding the generating function, coefficient extraction gives the coefficient of \(x^{10}\), which equals the desired count.
把生成函数展开后，通过系数提取取出 \(x^{10}\) 的系数，这个系数就等于所求的计数结果。

Etymology / 词源

coefficient 来自拉丁语 *co-*（共同）+ efficere（促成、产生效果），在数学中表示“与变量相乘、共同决定项大小的数”；extraction 来自拉丁语 extrahere（拉出、取出）。合起来就是“把（展开式中的）系数取出来”。

Related Words / 相关词汇

• Coefficient
• Extract
• Generating Function
• Power Series
• Series Expansion
• Polynomial
• Formal Power Series
• Convolution
• Cauchy Product
• Residue Theorem
• Combinatorics

Literary Works / 文学作品

• Generatingfunctionology（Herbert S. Wilf）：多处使用生成函数与“取系数”思想来进行计数与证明。
• Concrete Mathematics（Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik）：在求和、生成函数与渐近分析中频繁涉及系数提取技巧。
• Analytic Combinatorics（Philippe Flajolet, Robert Sedgewick）：系统讲解用解析方法与生成函数进行系数提取（含渐近估计）。