Cauchy Product

释义 Definition

Cauchy product（柯西乘积）：在数学中，指两个级数（或幂级数）相乘时得到的新级数，其第 \(n\) 项通常由“卷积”形式给出：若 \(\sum_{n\ge0} a_n\) 与 \(\sum_{n\ge0} b_n\)，则其柯西乘积为 \(\sum_{n\ge0} c_n\)，其中
\[ c_n=\sum_{k=0}^{n} a_k\,b_{n-k}. \]
它常用于讨论级数乘法、收敛性以及幂级数的乘法展开。（在不同语境下也可扩展到形式幂级数等。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈkaʊʃi ˈprɒdʌkt/（英式）
/ˈkaʊʃi ˈprɑːdʌkt/（美式）

例句 Examples

The Cauchy product of two power series is another power series.
两个幂级数的柯西乘积仍然是一个幂级数。

If both series converge absolutely, then the Cauchy product converges and its sum equals the product of the two sums.
如果两个级数都绝对收敛，那么它们的柯西乘积也收敛，并且其和等于两者和的乘积。

词源 Etymology

Cauchy product 得名于法国数学家 奥古斯丁-路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）。柯西在分析学中系统研究了级数与收敛性相关问题；这种“按项卷积生成新系数”的级数乘法形式后来以他的名字命名，用于描述两级数（尤其是幂级数）相乘时的系数构造规则。

相关词 Related Words

• Convolution
• Power Series
• Infinite Series
• Absolute Convergence
• Generating Function
• Taylor Series
• Radius Of Convergence

文学与名著用例 Literary Works

• Cours d’analyse de l’École Royale Polytechnique（柯西，《分析教程》）：讨论级数与收敛性思想，是该术语相关理论的经典来源之一。
• Principles of Mathematical Analysis（Walter Rudin，《数学分析原理》）：在实分析/级数章节中常以“Cauchy product”表述级数乘法及其收敛条件。
• Real and Complex Analysis（Walter Rudin，《实分析与复分析》）：在更高阶分析框架下涉及幂级数与相关乘法结构。
• An Introduction to the Theory of Infinite Series（T. J. I’A. Bromwich，《无穷级数理论导论》）：经典级数教材中常出现“Cauchy product”及其定理与应用。