Chebotarev Density Theorem

释义 Definition

切博塔列夫密度定理：代数数论中的核心结果，推广了算术级数中的素数分布（狄利克雷定理）。它描述了在一个有限的伽罗瓦扩张 \(L/K\) 中，未分歧素理想的弗罗贝尼乌斯元素（Frobenius）在伽罗瓦群 \(\mathrm{Gal}(L/K)\) 的共轭类之间如何“按比例”分布：落在某个共轭类 \(C\) 的素理想集合的自然密度等于
\[ \frac{|C|}{|\mathrm{Gal}(L/K)|}. \] （该定理还有更精细的“解析密度/误差项”版本，与 \(L\)-函数密切相关。）

发音 Pronunciation (IPA)

/tʃɪˈbɒtərəv ˈdɛnsəti ˈθiərəm/

例句 Examples

The Chebotarev density theorem predicts how often primes split in a Galois extension.
切博塔列夫密度定理预测了在一个伽罗瓦扩张中，素数以某种分解方式出现的频率。

In class field theory, the Chebotarev density theorem links Frobenius conjugacy classes to the distribution of unramified primes and generalizes Dirichlet’s theorem on primes in arithmetic progressions.
在类域论中，切博塔列夫密度定理把弗罗贝尼乌斯共轭类与未分歧素理想的分布联系起来，并推广了狄利克雷关于算术级数中素数分布的定理。

词源 Etymology

“Chebotarev”来自俄裔数学家 Nikolai Chebotarev（尼古拉·切博塔列夫） 的姓氏；该定理最初在研究伽罗瓦群与素理想分解行为的关系时形成。“density theorem”意为“密度定理”，强调的是某类素数（或素理想）在整体中的比例极限。

相关词 Related Words

• Artin Reciprocity
• Class Field Theory
• Dirichlet Theorem
• Frobenius Element
• Galois Group
• Prime Ideal
• Splitting Of Primes
• L Function
• Artin L Function

文学与名著中的出现 Literary Works

• Jürgen Neukirch, Algebraic Number Theory（代数数论教材中以核心定理形式系统陈述与应用）
• Serge Lang, Algebraic Number Theory（与类域论、弗罗贝尼乌斯元素及素理想分解一并讨论）
• Jean-Pierre Serre, A Course in Arithmetic（在与伽罗瓦表示/数论分布思想相关的章节中常被引用）
• D. A. Cox, Primes of the Form \(x^2 + ny^2\)（用于解释素数分解型与二次型/类域论之间的联系）