Ultraproduct

定义 Definition

ultraproduct（超积）：数理逻辑与模型论中的一种构造方法。给定一族结构（如群、环、图、模型等）以及一个超滤子（ultrafilter），可以把这些结构“按超滤子规定的方式”合成为一个新结构，称为它们的超积。它常用于把“几乎处处成立”的性质转移到新结构中（典型工具是Łoś 定理）。
（注：相关概念还有 ultrapower「超幂」，是超积的特殊情形。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌʌltrəˈprɒdʌkt/

例句 Examples

An ultraproduct combines many structures into one new structure using an ultrafilter.
超积利用超滤子把许多结构组合成一个新的结构。

Using an ultraproduct, we can show that a property holds in the limit model if it holds for “almost all” components with respect to the ultrafilter.
借助超积，如果某个性质相对于该超滤子在“几乎所有”分量中成立，就可以证明它在相应的极限模型中也成立。

词源 Etymology

ultraproduct 由 ultra-（“超、极端、超越”，源自拉丁语 ultra “在……之外”）+ product（“乘积/积/产物”）构成。在模型论语境里，“product” 对应“直积/乘积式构造”，而 “ultra-” 表示引入超滤子这一更强的筛选机制，从而得到不同于普通直积的“超”构造。

相关词 Related Words

• Ultrafilter
• Ultrapower
• Direct Product
• Reduced Product
• Model Theory
• Los Theorem
• Elementary Equivalence
• Compactness

文学与著作中的用例 Literary Works

• C. C. Chang & H. J. Keisler, Model Theory（经典教材，系统讲解超积与 Łoś 定理）
• Wilfrid Hodges, Model Theory（对超积/超幂及其应用有详细论述）
• David Marker, Model Theory: An Introduction（入门导向，涵盖超积作为核心工具的用法）
• H. Jerome Keisler, Ultraproducts and Elementary Classes（与超积密切相关的经典研究/讲义体系）