怎样正确地将 1 升水随机分成 3 份

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之前一直认为将 1 升水随机分成3份应该这样操作：

第 1 份，从 1 升水中取出 X 升， X 是[0, 1]之间的随机数

第 2 份，从剩下的水中取出 Y 升， Y 是[0, 1 - X]之间的随机数

第 3 份，剩余的水为 1 - X - Y

但实际上这样并不等同于“随机分成3份”

（惊讶脸）

正确的做法貌似是这样的：

第 1 份，从 1 升水中取出 X 升， X 是[0, 1]之间的随机数

第 2 份，从 1 升水中取出 Y 升， Y 是[0, 1]之间的随机数，若X + Y > 1，则从第1步重新开始

第 3 份，剩余的水为 1 - X - Y

Supplement 1 · Nov 14, 2016

如果将题面换成：

在长度为一米的木棒上任取两点将木棒分成三段

“任取两点”的定义是否明确？

Supplement 2 · Nov 14, 2016

第一种分配方法 3 份水的期望是： 1/2 ， 1/4 ， 1/4

第二种分配方法 3 份水的期望是： 1/3 ， 1/3 ， 1/3

Supplement 3 · Nov 15, 2016

受小伙伴回答的启发，新增了这个贴子： https://www.v2ex.com/t/320661

随机数

升水

取出

水中

57 replies • 2016-11-16 00:00:08 +08:00

banixc

Nov 14, 2016

所以什么叫做“随机分成 3 份”。
这里“随机”的定义是什么？

DiamondbacK

Nov 14, 2016

正确的做法是：
先给出「随机分成 3 份」的操作性定义，再执行这个操作。

概率论民科的一大原罪就是越过定义讨论问题。
参考「贝特朗悖论」。

cgcs

Nov 14, 2016

恩，照一般逻辑理解：

随机生成三个[0,1]之间的随机数， A,B,C

SUM = A + B + C

第一份水 = A/SUM （升）
第二份水 = B/SUM （升）
第三份水 = C/SUM （升）

Quaintjade

Nov 14, 2016

不是很喜欢“从第 1 步重新开始”这种做法，因为总有倒霉蛋会重复好多次，次数的方差比较大。

抛开水这个比方，其实就是随机三分线段。更好得做法应该是，若 X+Y<=1 ，则三份水为{X,Y,1-X-Y};否则{1-X,1-Y,X+Y-1}。

murmur

Nov 14, 2016

闭着眼睛扬出去两瓢就完了

binux

Nov 14, 2016

拿 3 个大盆放地上，站三楼，把水浇下去

qinjiannet

Nov 14, 2016

@Quaintjade 感谢，学到了一种新方法！

qinjiannet

Nov 14, 2016

@banixc @DiamondbacK 新增了一条附言：

如果将题面换成：

在长度为一米的木棒上任取两点将木棒分成三段

“任取两点”的定义是否明确？

Herobs

Nov 14, 2016

取 3 个 [0-] 随机数 X ， Y ， Z ， SUM = X + Y + Z

结果就是 X / SUM, Y / SUM, Z / SUM

Herobs

Nov 14, 2016

发现和 #3 一样。。。

NeinChn

Nov 14, 2016

结果是 X / SUM, Y / SUM, Z / SUM 的需要优化一下
浮点数都是有误差的
所以应该是 X / SUM, Y / SUM ， SUM - X / SUM - Y / SUM
否则加起来不是 SUM

murmur

Nov 14, 2016

@NeinChn 与其优化你的浮点数不如找点无残留的理想容器

menc

Nov 14, 2016

你们光说不行啊，要给出形式化的证明啊，证明期望符合每桶各 1/3 的水
@cgcs
@Quaintjade
@qinjiannet

murmur

Nov 14, 2016

@menc 你这题面自始至终就没提到过 1/3 这个问题而且按自然的说法大量的事件统计起来应该印象中是泊松分布？

没人告诉你期望是 1/3 如果要 1/3 的随机数题面要给明的

lecher

Nov 14, 2016

简化问题不过是线段内任取两点即可。
直接取两个[0-1]随机数， A1 、 A2
则 0-1 之间的距离自然就会被 A1 、 A2 分成三段，并且 A1 、 A2 满足题目要求的随机性。

剩下的就是， A1 、 A2 排个序，假设 A2 是大数，然后第二份的数量是|A2-A1|，第三份的数量是 1-A2

lecher

Nov 14, 2016

简化成图片大致就是这个样子。
A1 、 A2 为线段上面的两个随机数，且 A2>A1 。
最终计算出来的三份线段长度就可以满足题目要求的随机性： A1 、 A2-A1 、 1-A2

0-----------A1-------------------A2------------------1
|<--A1--->|<---(A2-A1)--->|<---(1-A2)---->|

banixc

Nov 14, 2016

@qinjiannet 如果换成木棒的说法，那这个题目的回答应该是这样：
第一步：取 0 < x ,y < 1
第二步：第一份水为 x' = min(x,y) 第二份为 y'= abs(x-y) 第三份为 1-x'-y'
目前我还没有想到如何证明这种取法和原本的取法是等效的。

murmur

Nov 14, 2016

好吧，喷了半天我才明白楼主要的点是什么
（ 1 ）作为理工科，严谨性是第一的，在自然界均匀分布并不是那么好找的，反倒是什么泊松分布了，高斯分布了比较好找，如果是真人倒水的话，第一下绝大多数我认为会选择 1/2 以下，因为倒太多了第二次倒什么啊，理想容器这些情况也不能少，高中都知道的东西怎么在网上提问就忘了呢？
（ 2 ）你可以去翻翻概率论的书，这个题实际上是给定 x 的分布求 f(x)的分布（特么我也不确定了），所以说如果你不给定你“随机”的方式，没人保证最后的期望是 1/3 ，所以说高等数学有用啊，大学无用论这不就看出来么，按照你的要求，我认为 A/(A+B+C)，其中 A 、 B 、 C 都是均匀分布反倒是最靠谱的答案，虽然这个也需要数学证明

Quaintjade

Nov 14, 2016

@qinjiannet
“在线段上随机取一点”一般不会有歧义，通常默认为连续均匀分布的概率。
“在线段上任取两点”通常默认为取两点是相互独立的。

但请注意以上只是习惯上默认，严格来说你应该用数学语言限定“随机”这个概念，否则就像 2 楼提到的「贝特朗悖论」那样，“在圆上随机取弦”就会导致歧义。

Quaintjade

Nov 14, 2016

@banixc 去问折棒太郎

qinjiannet

Nov 14, 2016

@murmur 第二种分配方法的期望的确是 1/3 ， 1/3 ， 1/3

ProkillerJ

Nov 15, 2016 via iPhone

蒙提霍尔悖论？

Quaintjade

Nov 15, 2016

@menc
一种比较直观的证明见：
https://www.zhihu.com/question/30359365/answer/122486961

DiamondbacK

Nov 15, 2016

@qinjiannet
「任意」和「随机」的含义是不同的。
在概率论中，「随机取样」和「随机样本」惯例上蕴含「等概率」条件，但「任意」这个词没有任何关于随机变量的分布函数的信息。

总之，问题在于应当先给出操作性定义或者分布函数，然后再计算。
但是「怎样正确地将 1 升水随机分成 3 份」这个问题的表述，其实是在问「什么样的分布 /操作才算是将 1 升水随机分成 3 份？」，这是在要求为一个未定义的操作给出定义。
如果还有后续问题，在某种定义基础上可以得出确定性答案的问题，比如问「将 1 升水随机分成 3 份，那么每一份的容积服从什么分布？」那么可以通过补充定义来修正这个问题。
如果没有后续问题，即这句话已经是问题的本身 /全部，那这就是个死胡同，是个语言陷阱。