手子快意：

为了找到当 x 趋近于 0 和正无穷时函数 y = x ln(1 + 1/x) 的极限，我们可以分别考虑这两种情况。

当 x 趋近于 0 时:
当 x 接近 0 时，表达式 1 + 1/x 接近于 1 。在数学中，ln(1) 是 0 ，因为 e^0 = 1 。所以我们可以期望 x ln(1 + 1/x) 当 x 趋近于 0 时会趋近于 0 。

为了正式地计算这个极限，我们可以将极限表示为：

[ \lim_{x \to 0} x \ln(1 + \frac{1}{x}) ]

利用洛必达法则（因为 x 乘以 ln(1 + 1/x) 会在 x=0 时导致不确定的形式 0*∞），我们有：

[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + \frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} ]

由于当 x 趋近于 0 时，1 + 1/x 趋近于 1 ，ln(1 + 1/x) 趋近于 ln(1) = 0 ，同时分母 1/x 趋近于正无穷。

所以，当 x 趋近于 0 时，y = x ln(1 + 1/x) 的极限是：

[ \lim_{x \to 0} x \ln(1 + \frac{1}{x}) = 0 ]

当 x 趋近于正无穷时:
当 x 趋近于正无穷时，1/x 趋近于 0 。对数和指数函数在 (0, 正无穷) 的区间内是连续且单调的，所以 ln(1 + 1/x) 当 1/x 趋近于 0 时趋近于 ln(1) = 0 。

因此，y = x ln(1 + 1/x) 在 x 趋近于正无穷时的极限是：

[ \lim_{x \to \infty} x \ln(1 + \frac{1}{x}) = \lim_{x \to \infty} x \cdot 0 = 0 ]

所以，无论 x 趋近于 0 还是正无穷，函数 y = x ln(1 + 1/x) 的极限都是 0 。