Uniform Norm

定义 Definition

uniform norm（统一范数/一致范数）：在函数空间中常用的一种范数，通常指上确界范数（supremum norm），用来衡量函数在整个定义域上“最大偏离”的大小。对有界函数 \(f\)（如在区间 \([a,b]\) 上连续）常写作
\[ \|f\|_{\infty}=\sup_{x\in D}|f(x)|. \]
它常用于讨论一致收敛（uniform convergence）与连续函数空间 \(C(D)\) 的度量结构。

发音 Pronunciation

/ˈjuːnɪfɔːrm nɔːrm/

例句 Examples

The uniform norm of \(f(x)=x\) on \([0,1]\) is 1.
函数 \(f(x)=x\) 在区间 \([0,1]\) 上的统一范数是 1。

In the space \(C([0,1])\), convergence in the uniform norm implies uniform convergence, which preserves continuity of the limit.
在空间 \(C([0,1])\) 中，以统一范数收敛会推出一致收敛，从而保证极限函数仍保持连续性。

词源 Etymology

uniform 来自拉丁语 uniformis（“形状一致的”），由 *uni-*（一、单一）+ -formis（形状）构成；norm 来自拉丁语 norma（“准则、规矩、直角尺”）。在数学语境中，uniform norm 表达“用同一标准在整个域上统一衡量”的范数，强调取全局最大值（上确界）来度量函数大小。

相关词 Related Words

• Supremum
• Norm
• Infinity Norm
• Uniform Convergence
• Banach Space
• Continuous Function
• Metric
• Bounded

文学与经典出处 Literary Works

• Principles of Mathematical Analysis（Walter Rudin）——在讨论连续函数空间与一致收敛时使用（常以 \(\|\cdot\|_\infty\) 形式出现）。
• Real and Complex Analysis（Walter Rudin）——涉及以本质上界/上确界定义的范数与收敛概念。
• A Course in Functional Analysis（John B. Conway）——在函数空间与算子理论中频繁出现上确界范数/一致范数。
• Introductory Functional Analysis with Applications（Erwin Kreyszig）——作为 \(C([a,b])\) 等空间的标准范数之一讲解。