Transfinite Induction

释义 Definition

超限归纳法：一种把“数学归纳法”推广到序数（ordinal）上的证明方法。用来证明对所有序数都成立的命题，通常分三步：零点（0）、后继序数（successor）、极限序数（limit）。常用于集合论、序数与基数理论等领域。

发音 Pronunciation (IPA)

/trænzˈfaɪnaɪt ɪnˈdʌkʃən/

例句 Examples

Transfinite induction is a standard tool in set theory.
超限归纳法是集合论中的标准工具。

Using transfinite induction, we prove the statement for 0, for each successor ordinal assuming it holds for its predecessor, and for each limit ordinal assuming it holds for all smaller ordinals.
我们用超限归纳法：先证明在 0 时成立；再在后继序数情形中假设对前一序数成立从而推出对后继成立；并在极限序数情形中假设对所有更小序数成立从而推出对该极限序数成立。

词源 Etymology

transfinite 由 *trans-*（“超越、跨越”）+ finite（“有限的”）构成，常译为“超限/超穷”；该用法与康托尔（Georg Cantor）在研究无穷集合与序数、基数时的术语传统相关。induction 指“归纳法”。合在一起表示“把归纳证明扩展到超越有限步骤的序数层级”。

相关词 Related Words

• Ordinal
• Well-Ordering
• Successor
• Limit Ordinal
• Transfinite Recursion
• Mathematical Induction
• Axiom of Choice
• Set Theory

文学与著作中的用例 Literary Works

• Thomas Jech，《Set Theory》：在序数与递归/归纳章节系统使用并解释超限归纳法。
• Kenneth Kunen，《Set Theory: An Introduction to Independence Proofs》：以超限方法处理序数结构与构造。
• Paul R. Halmos，《Naive Set Theory》：用较直观的方式介绍序数与相关证明技巧（含超限归纳思想）。
• Herbert B. Enderton，《Elements of Set Theory》：在序数与良序集部分讨论并应用超限归纳法。