Singular Integral

释义 Definition

奇异积分：数学分析与调和分析中的一种积分（或积分算子），其积分核在某些点（常在 \(0\) 或 \(x=y\)）具有奇异性（例如趋于无穷或不可积），因此通常需要用主值（principal value）等方式来严格定义与处理。该术语在Calderón–Zygmund理论、偏微分方程与傅里叶分析中非常常见。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈsɪŋɡjələr ˈɪntɪɡrəl/

例句 Examples

The Hilbert transform is a classic singular integral operator.
希尔伯特变换是一个经典的奇异积分算子。

Singular integrals play a central role in proving \(L^p\) bounds for certain convolution operators in harmonic analysis.
在调和分析中，奇异积分在证明某些卷积算子满足 \(L^p\) 有界性方面起核心作用。

词源 Etymology

singular 源自拉丁语 singularis，意为“单一的、特殊的”，在数学里常引申为“在某点表现异常/不可常规处理的（奇异的）”。integral 源自拉丁语 integer（完整的），在数学中指“积分/整体量”。合在一起，singular integral 指“带有奇异点、需要特殊方式定义或估计的积分（或积分算子）”。

相关词 Related Words

• Principal Value
• Hilbert Transform
• Kernel
• Convolution
• Fourier Transform
• Harmonic Analysis
• Calderón–Zygmund Operator
• Maximal Function
• Distribution

文学与著作 Literary Works

• Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions（Elias M. Stein）：书名即以该术语为核心，系统奠定相关理论框架。
• Trigonometric Series（Antoni Zygmund）：讨论与奇异积分密切相关的估计与方法，是经典参考。
• Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces（Stein & Weiss）：在傅里叶分析语境中多次出现并用于关键证明。