Sign Function

Definition 定义

sign function（符号函数）：一个把实数映射到其“符号”的函数，通常记作 **sgn(x)**。常见定义为：

• 当 \(x>0\) 时，\(\mathrm{sgn}(x)=1\)
• 当 \(x=0\) 时，\(\mathrm{sgn}(x)=0\)
• 当 \(x<0\) 时，\(\mathrm{sgn}(x)=-1\)
  它常用于表示数的正负、分段表达式、优化与信号处理等。（在某些语境下也会有略不同约定，但以上最常见。）

Pronunciation 发音（IPA）

/saɪn ˈfʌŋkʃən/

Examples 例句

The sign function returns −1, 0, or 1 depending on x.
符号函数会根据 x 的取值返回 −1、0 或 1。

In optimization, replacing \(x/|x|\) with \(\mathrm{sgn}(x)\) simplifies piecewise definitions, though it is not differentiable at 0.
在优化问题中，用 \(\mathrm{sgn}(x)\) 替代 \(x/|x|\) 可以简化分段定义，不过它在 0 处不可导。

Etymology 词源

sign 来自拉丁语 signum（标记、符号），经由古法语进入英语；function 来自拉丁语 functio（执行、作用）。合起来 sign function 字面意思就是“给出符号（正/负/零）的函数”，属于数学术语组合。

Related Words 相关词汇

• Signum
• Absolute
• Piecewise
• Heaviside
• Step
• Indicator
• Derivative
• Nonlinear

Notable Works 著名作品与文献

• Walter Rudin — Principles of Mathematical Analysis（《数学分析原理》）：在讨论分段函数、极限与函数性质时常会出现与 \(\mathrm{sgn}(x)\) 等类似函数相关的表达。
• A. N. Kolmogorov & S. V. Fomin — Introductory Real Analysis（《实分析引论》）：涉及实函数与基本构造时，常用符号函数作为典型例子之一。
• 信号处理与控制类教材/论文（如讨论“符号型非线性”“继电器/切换控制”）：\(\mathrm{sgn}(x)\) 常用于描述开关式或饱和式行为。