Sequence of Functions

定义 Definition

“sequence of functions” 指函数序列：按自然数顺序排列的一列函数 \(\{f_n\}\)，通常都定义在同一个定义域上，用来研究逐点收敛、一致收敛、极限函数等概念。（在数学分析、实变函数与泛函分析中很常见。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈsiːkwəns əv ˈfʌŋkʃənz/

例句 Examples

Let \(f_n(x)=x^n\) on \([0,1]\); this is a sequence of functions.
令 \([0,1]\) 上 \(f_n(x)=x^n\)；这就是一个函数序列。

We studied a sequence of functions that converges pointwise but not uniformly, showing why the type of convergence matters for integration.
我们研究了一个逐点收敛但不一致收敛的函数序列，从而说明为什么收敛类型会影响积分等运算。

词源 Etymology

sequence 来自拉丁语 sequi（“跟随”），表示“按顺序排列的一串东西”；function 来自拉丁语 functio（“执行、履行”），在数学语境中指“输入到输出的对应规则”。合起来 “sequence of functions” 就是“按顺序排列的一列函数”。

相关词 Related Words

• Sequence
• Function
• Pointwise Convergence
• Uniform Convergence
• Limit
• Series
• Continuity
• Compactness

文学与著作中的用例 Literary & Notable Works

• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis（《数学分析原理》）：用“sequence of functions”系统讨论一致收敛、交换极限与积分/微分等主题。
• G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications（《实分析》）：在测度论与 \(L^p\) 空间中频繁使用函数序列来建立收敛定理。
• Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series（《无穷级数论及其应用》）：在函数项级数与相关收敛问题中讨论函数序列与级数。