Seminorm

释义 Definition

半范数（seminorm）是数学（尤其是线性代数与泛函分析）中的一个函数 \(p: V \to [0,\infty)\)，满足：

1. 非负性：\(p(x)\ge 0\)；
2. 齐次性：\(p(\alpha x)=|\alpha|\,p(x)\)；
3. 三角不等式：\(p(x+y)\le p(x)+p(y)\)。
   它与“范数（norm）”的关键区别是：半范数允许存在非零向量 \(x\neq 0\) 使 \(p(x)=0\)。
   （在更高阶语境中也有其他相关用法，但最常见的是此数学定义。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈsɛmɪnɔːrm/

例句 Examples

A seminorm can be zero for some nonzero vectors.
半范数在某些非零向量上可以取到 0。

In functional analysis, a family of seminorms can define a locally convex topology on a vector space.
在泛函分析中，一族半范数可以在向量空间上定义一个局部凸拓扑。

词源 Etymology

semi- 表示“半、部分”，norm 表示“范数”。该词直观表达了“像范数但少一个关键条件”：它保留了齐次性与三角不等式，但不要求“只有零向量的值才为零”。

相关词 Related Words

• Norm
• Pseudonorm
• Metric
• Pseudometric
• Topology
• Locally Convex
• Functional Analysis
• Vector Space

文学与经典出处 Literary Works

• Walter Rudin, Functional Analysis（讨论由半范数诱导的拓扑与相关结构）
• John B. Conway, A Course in Functional Analysis（出现半范数与局部凸空间的标准表述）
• Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications（用半范数引入相关空间与收敛概念）
• Reed & Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. I: Functional Analysis（在泛函分析框架中使用半范数语言）
• Bourbaki, Topological Vector Spaces（以半范数系统刻画局部凸拓扑的经典来源之一）