Schur Polynomial

定义 Definition

Schur polynomial（舒尔多项式）是一类重要的对称多项式，通常由一个分拆（partition）或杨图（Young diagram）来索引。它们在代数组合学、表示论（尤其是一般线性群的表示）、对称函数理论以及代数几何中广泛出现。常见记号为 \(s_\lambda(x_1,x_2,\dots)\)。

发音 Pronunciation (IPA)

/ʃʊr/ /ˈpɒlɪnəʊmiəl/ （亦常见：/ʃʊr/ /ˌpɑːlɪˈnoʊmiəl/）

例句 Examples

Schur polynomials are symmetric in the variables.
舒尔多项式在这些变量之间是对称的。

In representation theory, Schur polynomials describe characters of polynomial representations of \(GL_n\) and connect combinatorics with linear algebra.
在表示论中，舒尔多项式刻画了 \(GL_n\) 的多项式表示的特征标，把组合结构与线性代数联系起来。

词源 Etymology

“Schur”来自德国数学家 Issai Schur（伊赛·舒尔）的姓氏；“polynomial”源自拉丁语系词根，意为“由多个项组成的式子”。因此 Schur polynomial 直译为“舒尔（命名的）多项式”。这一名称反映了它与舒尔在群表示与矩阵理论相关工作的历史渊源。

相关词 Related Words

• Symmetric
• Partition
• Young Diagram
• Tableau
• Representation
• Character
• Schur Function
• Littlewood–Richardson
• Determinant

文学与经典出处 Literary Works

• I. G. Macdonald, Symmetric Functions and Hall Polynomials：系统介绍对称函数，舒尔多项式/舒尔函数是核心对象之一。
• William Fulton & Joe Harris, Representation Theory: A First Course：用舒尔多项式（与杨表相关）讲解 \(GL_n\) 表示的组合描述。
• Richard P. Stanley, Enumerative Combinatorics, Volume 2：在对称函数与组合计数框架下多次使用舒尔多项式。
• Bruce E. Sagan, The Symmetric Group: Representations, Combinatorial Algorithms, and Symmetric Functions：通过对称群表示与算法视角讨论舒尔相关对象与应用。