Ring Of Integers

定义 Definition

整数环：在代数数论中，指某个数域 \(K\)（例如 \(\mathbb{Q}(\sqrt{d})\)）里所有“代数整数”（algebraic integers）组成的集合，记作 \(\mathcal{O}_K\)。它在加法与乘法下封闭，形成一个交换环，并且是该数域中“最自然的整数类比”。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈrɪŋ əv ˈɪn.tɪ.dʒɚz/

例句 Examples

The ring of integers of \(\mathbb{Q}\) is \(\mathbb{Z}\).
\(\mathbb{Q}\) 的整数环是 \(\mathbb{Z}\)。

In a quadratic field \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})\), the ring of integers \(\mathcal{O}_K\) may differ from \(\mathbb{Z}[\sqrt{d}]\) depending on \(d\).
在二次数域 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})\) 中，整数环 \(\mathcal{O}_K\) 可能会因 \(d\) 的不同而与 \(\mathbb{Z}[\sqrt{d}]\) 不同。

词源 Etymology

该术语由两部分构成：ring（环，抽象代数中的“环结构”，强调加法与乘法运算体系）+ integers（整数）。在数论语境里，“ring of integers（整数环）”借用“整数 \(\mathbb{Z}\)”的概念，把它推广到更一般的数域中：在数域里挑出那些行为最像整数、满足整系数多项式方程的元素，形成“该数域的整数”。

相关词 Related Words

• Algebraic Integer
• Number Field
• Integral Domain
• Dedekind Domain
• Ideal
• Prime Ideal
• Unique Factorization
• Quadratic Field

文献与名著用例 Literary Works

• Algebraic Number Theory（Jürgen Neukirch）：系统使用“ring of integers”作为数域基本对象之一。
• Algebraic Number Theory（Serge Lang）：在理想、分解与类群讨论中频繁出现该术语。
• A Classical Introduction to Modern Number Theory（Ireland & Rosen）：在介绍数域与代数整数时使用“ring of integers”。
• Algebraic Number Theory（Daniel A. Marcus）：入门教材中以“ring of integers”作为核心概念展开例子与定理。