Riemann Integrable

定义 Definition

Riemann integrable（黎曼可积）：指一个函数在某个区间上可以用黎曼和的极限来定义其定积分。直观地说，随着分割越来越细，用小矩形面积近似的总和会趋近于同一个确定的值。
（该术语也常与“函数在区间上有界、且不连续点集合足够小”等判别条件相关。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈriːmən ˈɪntɪɡrəbəl/

例句 Examples

A continuous function on \[a, b\] is Riemann integrable.
在区间 \[a, b\] 上连续的函数是黎曼可积的。

Although the function has jump discontinuities, it is still Riemann integrable on \[0,1\] because the discontinuities occur at only finitely many points.
尽管该函数有跳跃不连续点，但它在 \[0,1\] 上仍然是黎曼可积的，因为不连续只发生在有限多个点上。

词源 Etymology

Riemann 来自19世纪德国数学家 Bernhard Riemann（伯恩哈德·黎曼） 的姓氏；integrable 源自 integrate（积分），来自拉丁语 integrare（使完整、使成为整体）。合起来表示“可以用黎曼积分定义并求得积分值”。

相关词 Related Words

• Integral
• Integrable
• Riemann Sum
• Definite Integral
• Partition
• Upper Sum
• Lower Sum
• Darboux Integral
• Lebesgue Integrable
• Continuity

文学与著作中的用例 Literary Works

• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis（《数学分析原理》）：在定积分章节中系统讨论“Riemann integrable”。
• Tom M. Apostol, Mathematical Analysis（《数学分析》）：用严格定义与判别法讲解黎曼可积与黎曼和。
• Michael Spivak, Calculus（《微积分》）：以直观与证明结合的方式介绍黎曼可积的思想。
• Bernhard Riemann 的相关原始论文与讲义传统（关于三角级数与积分的工作）常被视为“黎曼积分”概念的历史源头。