Rational Surface

定义 Definition

在代数几何中，“rational surface（有理曲面）”指一种在双有理等价意义下与射影平面 \( \mathbb{P}^2 \) 相同的代数曲面；直观地说，它的函数域与两个自变量的有理函数域 \(k(x,y)\) 同构。常见例子包括射影平面、某些Hirzebruch曲面以及对 \( \mathbb{P}^2 \) 做有限次吹起（blow-up）得到的曲面。（在不同语境下也可指“有理参数化”的曲面，但最常见的是上述代数几何含义。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈræʃənəl ˈsɝːfɪs/

例句 Examples

A rational surface is birational to the projective plane.
有理曲面在双有理意义下等价于射影平面。

Many rational surfaces can be obtained by blowing up the projective plane at finitely many points, which changes the divisor class group while preserving birational type.
许多有理曲面可以通过在射影平面上对有限个点做吹起来构造；这会改变除子类群等结构，但不改变其双有理类型。

词源 Etymology

“rational”来自拉丁语 rationalis（“理性的；与推理有关的”），在数学里进一步引申为“有理的/由有理函数给出”的含义；“surface”来自拉丁语 superficies（“表面”）。合在一起，“rational surface”在现代数学语境中主要指“由有理函数（在双有理意义下）描述的曲面”。

相关词 Related Words

• Birational
• Projective
• Blow-Up
• Divisor
• Ruled Surface
• Hirzebruch Surface
• Del Pezzo Surface
• Algebraic Surface

文学与经典著作出现 Works & Notable Sources

• Hartshorne, Algebraic Geometry（在曲面、双有理几何与有理性相关讨论中出现）
• Beauville, Complex Algebraic Surfaces（讨论有理曲面与曲面分类时频繁出现）
• Griffiths & Harris, Principles of Algebraic Geometry（在复代数曲面与双有理概念中出现）
• Shafarevich, Basic Algebraic Geometry（讲述有理性、双有理映射与曲面例子时出现）
• Miranda, Algebraic Curves and Riemann Surfaces（相关背景材料中涉及“有理/双有理”框架，常与曲面例子并读）