Principal Bundle

Definition / 定义

主丛（principal bundle）：微分几何与拓扑中的一种“纤维丛”。它的纤维是一个李群 \(G\)，并且 \(G\) 在丛的总空间上以“自由且传递”的方式作用，使得该丛在局部看起来像 \(U \times G\)（\(U\) 为底空间上的开集）。主丛常用来描述对称性与规范场（gauge fields）；许多其他丛（如向量丛）可由主丛“伴随（associated）”构造得到。

Pronunciation / 发音

/ˈprɪnsəpəl ˈbʌndəl/

Examples / 例句

A principal bundle encodes the symmetry group acting on a geometric space.
主丛把作用在几何空间上的对称群以结构化的方式编码出来。

In gauge theory, a connection on a principal bundle describes how to compare fibers smoothly from point to point.
在规范理论中，主丛上的联络用来描述如何在不同点之间平滑地比较各处的纤维（群元素结构）。

Etymology / 词源

principal 源自拉丁语 princeps（“首要的、主要的”），在数学里常表示“基本/主导的结构”。bundle 原意为“捆、束”，在现代数学中引申为“由许多局部部分按规则捆在一起的整体结构”。因此 principal bundle 直观上就是“以基本对称群为核心的纤维丛”。

Related Words / 相关词

• Fibre Bundle
• Vector Bundle
• Connection
• Gauge Group
• Lie Group
• Structure Group
• Section
• Manifold
• Transition Function
• Associated Bundle

Literary Works / 文学与著作例证

• The Topology of Fibre Bundles（Norman Steenrod）：系统讨论纤维丛与相关结构，包含主丛的基本观点。
• Foundations of Differential Geometry（Shoshichi Kobayashi & Katsumi Nomizu）：以微分几何框架深入使用主丛、联络与曲率。
• Fibre Bundles（Dale Husemoller）：经典教材，主丛与向量丛的构造与分类反复出现。
• Characteristic Classes（John Milnor & James Stasheff）：用主丛语言阐述特征类与拓扑不变量。
• Geometry, Topology and Physics（Mikio Nakahara）：在物理（规范场论）语境中大量使用主丛与联络。