Positive-Semidefinite

定义 Definition

positive-semidefinite（正半定）通常指一个矩阵（或二次型）满足：对任意非零向量 \(x\)，都有
\[ x^\top A x \ge 0 \] 常写作 PSD。在实对称矩阵/厄米矩阵情形下，它等价于所有特征值都不小于 0。另有相关概念 positive definite（正定），要求严格大于 0。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈpɑːzətɪv ˌsɛmiˈdɛfɪnɪt/

例句 Examples

A covariance matrix is positive-semidefinite.
协方差矩阵是正半定的。

To prove the function is convex, we show its Hessian is positive-semidefinite for all inputs.
为了证明该函数是凸的，我们需要证明它的海森矩阵对所有输入都是正半定的。

词源 Etymology

positive 源自拉丁语 positivus（“确定的、肯定的”）；semi- 源自拉丁语 semi（“半”）；definite 源自拉丁语 definire（“界定、限定”）。在数学中，“正半定”用于表达“值不为负，但允许为零”的性质：比“正定”更宽松，因此用 semi- 表示“半/不严格”。

相关词 Related Words

• Positive-Definite
• Negative-Semidefinite
• Indefinite
• Eigenvalue
• Quadratic-Form
• Covariance
• Hessian
• Convex
• Hermitian
• Semidefinite-Programming

文学与著作 Literary Works

• 《Convex Optimization》（Boyd & Vandenberghe）——在凸性判别、半正定约束与半正定规划中频繁使用 positive-semidefinite。
• 《Matrix Analysis》（Horn & Johnson）——系统讨论正半定矩阵的谱性质、序关系与相关不等式。
• 《Numerical Optimization》（Nocedal & Wright）——在二阶方法与海森矩阵条件（如正半定/正定）中出现。
• 《Functions of Matrices: Theory and Computation》（Higham）——涉及正半定矩阵与相关矩阵函数/数值性质。