Optional Stopping Theorem

定义 Definition

optional stopping theorem（可选停止定理）：概率论与随机过程中的一个重要结果，通常在鞅（martingale）框架下讨论。它说明：在满足一定条件时，即使你在“随机的时间点”停止一个随机过程（停止时刻 stopping time），其期望值仍保持不变或可被控制。常见表述是：若 \((M_t)\) 是鞅，\(\tau\) 是合适的停止时刻，则在一定条件下
\[ \mathbb{E}[M_\tau]=\mathbb{E}[M_0]. \]
（注：该定理有多种版本与条件；若条件不满足，结论可能不成立。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈɑːpʃənəl ˈstɑːpɪŋ ˈθiːərəm/

例句 Examples

The optional stopping theorem helps explain why some gambling strategies don’t work.
可选停止定理有助于解释为什么某些赌博“策略”并不会奏效。

Using the optional stopping theorem, we can relate the expected value at a stopping time to the initial expected value under suitable conditions.
利用可选停止定理，在合适条件下我们可以把停止时刻的期望与初始期望联系起来。

词源 Etymology

“optional（可选的）”在这里指“停止的时刻是可以根据过程的观测结果来选择的”，即停止时间并非预先固定，而是“随机决定”。“stopping（停止）”对应停止时刻（stopping time），“theorem（定理）”表明这是一个严格的数学结论。该术语主要形成于20世纪鞅理论与现代概率论的发展过程中。

相关词 Related Words

• Martingale
• Stopping Time
• Optional Sampling Theorem
• Wald's Equation
• Doob's Inequality
• Filtration
• Supermartingale
• Fair Game

文学与著作中的用例 Literary Works

• David Williams, Probability with Martingales（常在鞅章节中讨论可选停止/可选抽样定理）
• Rick Durrett, Probability: Theory and Examples（鞅与停止时刻相关章节）
• Patrick Billingsley, Probability and Measure（现代概率论框架下的相关结果）
• Ioannis Karatzas & Steven Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus（随机微积分中与停止时刻密切相关）
• J. L. Doob（相关经典论文与专著中系统发展了鞅理论与停止定理的思想）