Negative-Definite

定义 Definition

negative-definite（负定的）：在数学（尤其线性代数、优化、控制）中，指一个二次型或对称/厄米矩阵满足对所有非零向量 \(x\)，都有
\[ x^\top A x < 0 \] 则称矩阵 \(A\) 为负定矩阵（negative-definite）。常见等价表述：其所有特征值都严格小于 0（对称实矩阵情形）。
（也存在相关但不同的概念，如 negative semidefinite（负半定）。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌnɛɡətɪv ˈdɛfɪnɪt/

例句 Examples

A negative-definite matrix has all eigenvalues less than zero.
负定矩阵的所有特征值都小于零。

To prove stability, the Lyapunov function’s Hessian is often required to be negative-definite near the equilibrium.
为了证明稳定性，李雅普诺夫函数的海森矩阵通常需要在平衡点附近是负定的。

词源 Etymology

negative 来自拉丁语 negativus（表示否定、为负），definite 来自拉丁语 definitus（明确界定的）。在数学中，definite 用来描述二次型“符号固定”（总是正或总是负），因此 negative-definite 字面即“取值恒为负的（明确的）”。

相关词 Related Words

• Definite
• Indefinite
• Positive-Definite
• Negative-Semidefinite
• Eigenvalue
• Quadratic-Form
• Hessian
• Lyapunov

文献作品 Literary Works

• Matrix Analysis（Roger A. Horn & Charles R. Johnson）——在矩阵不等式与定性分析中系统讨论负定/正定矩阵。
• Linear Algebra and Its Applications（David C. Lay 等）——在线性代数课程语境中介绍（负）定矩阵与二次型。
• Convex Optimization（Stephen Boyd & Lieven Vandenberghe）——在二阶条件、海森矩阵与优化问题中频繁出现 negative-definite。