Mean Value Theorem

释义 Definition

Mean Value Theorem（平均值定理）：微积分中的一个基本定理，通常表述为：若函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续、在开区间 \((a,b)\) 上可导，则存在某个 \(c\in(a,b)\)，使得
\[ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}. \]
直观理解：在区间内至少有一点的“瞬时变化率”（切线斜率）等于“整体平均变化率”（割线斜率）。
（注：在数学语境中也常简称 MVT。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌmiːn ˈvæljuː ˈθiːərəm/

例句 Examples

The mean value theorem guarantees there is a point where the derivative equals the average rate of change.
平均值定理保证在某一点处，导数等于平均变化率。

If a function is continuous on \([a,b]\) and differentiable on \((a,b)\), then by the mean value theorem there exists \(c\in(a,b)\) such that \(f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\), which is often used to prove error bounds.
如果函数在 \([a,b]\) 上连续且在 \((a,b)\) 上可导，那么由平均值定理可知存在 \(c\in(a,b)\) 使 \(f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)，这常用于证明误差界。

词源 Etymology

该术语由 mean（平均的） + value（数值） + theorem（定理） 组成，字面意思是“关于平均值的定理”。它与微积分早期对“变化率”与“平均变化”的研究密切相关，现代常见表述源自 19 世纪分析学的严格化发展。

相关词 Related Words

• Calculus
• Derivative
• Continuous
• Differentiable
• Rolle’s Theorem
• Intermediate Value Theorem
• Secant
• Tangent

文学与经典教材出处 Literary Works

• Principles of Mathematical Analysis（Walter Rudin）——在实分析/微积分严格化框架中使用平均值定理。
• Calculus（Michael Spivak）——以证明为主的微积分教材中系统讲解并反复应用该定理。
• Calculus, Volume 1（Tom M. Apostol）——以公理化方式呈现并用于推导多项结论。
• Calculus: Early Transcendentals（James Stewart）——常见入门教材中用于说明导数与平均变化率关系及应用题。