Littlewood-Richardson Coefficient

释义 / Definition

Littlewood–Richardson 系数：在对称函数与表示论中常见的一个非负整数系数，通常记作 \(c_{\mu,\nu}^{\lambda}\)。它表示：

• Schur 函数乘积的展开系数：\(\;s_\mu s_\nu=\sum_\lambda c_{\mu,\nu}^{\lambda}\, s_\lambda\)
• 或等价地，某些群（如 \(GL_n\)）不可约表示的张量积分解中，不可约表示出现的“重数”（出现次数）。

（在不同语境中也可指更一般的 Littlewood–Richardson 型结构常数。）

发音 / Pronunciation (IPA)

/ˈlɪtəlwʊd ˈrɪtʃərdsən ˌkoʊɪˈfɪʃənt/

例句 / Examples

The Littlewood–Richardson coefficient \(c_{\mu,\nu}^{\lambda}\) counts how many times \(V_\lambda\) appears in \(V_\mu \otimes V_\nu\).
Littlewood–Richardson 系数 \(c_{\mu,\nu}^{\lambda}\) 计算 \(V_\lambda\) 在 \(V_\mu \otimes V_\nu\) 中出现的次数。

Using the Littlewood–Richardson rule, we can expand the product of Schur functions and interpret the result via semistandard Young tableaux.
利用 Littlewood–Richardson 规则，我们可以展开 Schur 函数的乘积，并用半标准杨表对结果作组合意义的解释。

词源 / Etymology

该术语以英国数学家 D. E. Littlewood 与 A. R. Richardson 命名。它源自他们在表示论与对称函数领域的工作：用一类组合规则刻画 Schur 函数乘法（或张量积分解）中出现的系数，因此这些系数被称为 Littlewood–Richardson 系数。

相关词 / Related Words

• Schur Function
• Young Tableau
• Littlewood-Richardson Rule
• Representation Theory
• Symmetric Function
• Tensor Product
• Kostka Number
• Pieri Rule

文学与经典著作中的用例 / Notable Works

• I. G. Macdonald, Symmetric Functions and Hall Polynomials（系统讨论 Schur 函数与 Littlewood–Richardson 系数）
• William Fulton, Young Tableaux（以杨表与组合方法讲解 Littlewood–Richardson 规则与系数）
• Richard P. Stanley, Enumerative Combinatorics, Volume 2（涉及对称函数与相关结构常数）
• Bruce E. Sagan, The Symmetric Group（与表示论、对称函数的联系中出现）
• Allen Knutson & Terence Tao, “The honeycomb model of \(GL_n\) tensor products I”（从几何/组合模型刻画 Littlewood–Richardson 系数）