Lipschitz Constant

定义 Definition

Lipschitz 常数（也称“利普希茨常数”）是一个用来度量函数“变化有多快”的常数 \(L\)。如果对任意两点 \(x,y\)，都有
\[ |f(x)-f(y)| \le L|x-y|, \] 则称 \(f\) 是 Lipschitz 连续的，而满足不等式的 \(L\) 就是一个 Lipschitz constant（通常取最小的那一个作为“最佳”常数）。它在分析、优化、机器学习与微分方程中常用于给出误差界与收敛性保证。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈlɪpʃɪts ˈkɑːnstənt/

例句 Examples

A smaller Lipschitz constant means the function changes more slowly.
较小的 Lipschitz 常数意味着函数变化更慢。

If the gradient has a Lipschitz constant \(L\), then gradient descent can use a step size up to \(1/L\) to guarantee convergence under standard assumptions.
如果梯度具有 Lipschitz 常数 \(L\)，那么在常见假设下，梯度下降可使用不超过 \(1/L\) 的步长来保证收敛。

词源 Etymology

Lipschitz 来自德国数学家 Rudolf Lipschitz（鲁道夫·利普希茨） 的姓氏；该概念用于刻画函数满足一种“线性上界”的稳定性条件。constant 源自拉丁语 constans，意为“固定不变的”。

相关词 Related Words

• Lipschitz
• Lipschitz Continuity
• Continuity
• Uniform Continuity
• Bound
• Inequality
• Gradient
• Smoothness
• Contraction Mapping
• Norm

文学与经典著作中的用例 Literary Works

• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis（常在习题与相关章节中出现 Lipschitz 条件/常数）
• Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations（在 PDE 的正则性、估计与存在唯一性讨论中常用）
• Stephen Boyd & Lieven Vandenberghe, Convex Optimization（在光滑性、梯度 Lipschitz 条件与算法收敛分析中出现）
• Dimitri P. Bertsekas, Nonlinear Programming（用于优化算法的步长与收敛性理论）