Legendre Polynomial

释义 Definition

勒让德多项式：一族在区间 \([-1, 1]\) 上相互正交的多项式，通常记为 \(P_n(x)\)。它们是勒让德微分方程的解，广泛用于物理与工程中的展开与近似（如球坐标下的势函数、边值问题、数值积分等）。常见的还有缔合勒让德多项式 \(P_n^m(x)\)。

发音 Pronunciation

/ləˈʒɑːndr ˌpɑːlɪˈnoʊmiəl/

例句 Examples

Legendre polynomials are orthogonal on the interval \([-1, 1]\).
勒让德多项式在区间 \([-1, 1]\) 上是正交的。

In solving Laplace’s equation in spherical coordinates, the angular part can be expanded using Legendre polynomials \(P_n(\cos\theta)\).
在球坐标中求解拉普拉斯方程时，角向部分常可用勒让德多项式 \(P_n(\cos\theta)\) 来展开。

词源 Etymology

“Legendre polynomial”得名于法国数学家阿德里安-马里·勒让德（Adrien‑Marie Legendre）。其中“polynomial”源自“poly-（多）+ nomial（项/名称）”，表示“由多个项组成的代数表达式”。勒让德多项式作为一类特殊函数，最早系统地出现在与正交展开、势理论和天体力学相关的研究中。

相关词 Related Words

• Orthogonal
• Legendre Equation
• Associated Legendre Function
• Spherical Harmonic
• Bessel Function
• Chebyshev Polynomial
• Rodrigues' Formula

文学与经典作品中的用例 Literary Works

• Mathematical Methods for Physicists（Arfken, Weber & Harris）：在正交多项式、特殊函数与球坐标分离变量中频繁出现。
• Classical Electrodynamics（J. D. Jackson）：多极展开与势函数处理中使用 \(P_n(\cos\theta)\)。
• Methods of Theoretical Physics（Morse & Feshbach）：边值问题与球对称体系的展开里系统使用。
• Introduction to Quantum Mechanics（D. J. Griffiths & D. F. Schroeter）：角动量与球谐函数相关章节会引入（缔合）勒让德多项式。