Legendre Equation

释义 Definition

勒让德方程：一类重要的二阶常微分方程，常见形式为
\[ (1-x^2)y''-2xy'+\ell(\ell+1)y=0 \]
它的解与勒让德多项式（当 \(\ell\) 为非负整数时）密切相关，常用于物理中的球坐标问题（如拉普拉斯方程的分离变量、势场与球谐函数）。另有更一般的伴随勒让德方程。

发音 Pronunciation

/ ləˈʒɑːndər ɪˈkweɪʒən /

例句 Examples

The Legendre equation appears when solving Laplace’s equation in spherical coordinates.
勒让德方程常在用球坐标求解拉普拉斯方程时出现。

In a Sturm–Liouville framework, the Legendre equation yields orthogonal eigenfunctions on \([-1,1]\), which makes it useful for expanding functions in series of Legendre polynomials.
在 Sturm–Liouville 框架下，勒让德方程在区间 \([-1,1]\) 上给出正交的特征函数，因此适合用勒让德多项式级数来展开函数。

词源 Etymology

“Legendre”来自法国数学家 Adrien‑Marie Legendre（勒让德）的姓氏；“equation”意为“方程”。该名称属于以提出或系统研究该类问题的学者命名的数学术语传统。

相关词 Related Words

• Associated Legendre Equation
• Legendre Polynomial
• Sturm–Liouville
• Spherical Harmonics
• Laplace’s Equation
• Ordinary Differential Equation
• Orthogonal
• Eigenvalue

文学/著作引用 Literary Works

• Abramowitz & Stegun，《Handbook of Mathematical Functions》：在特殊函数章节系统收录勒让德方程、勒让德函数与相关性质。
• Arfken, Weber & Harris，《Mathematical Methods for Physicists》：在分离变量与球坐标方法中频繁使用勒让德方程与球谐函数。
• Courant & Hilbert，《Methods of Mathematical Physics》：将其置于经典边值问题与特征函数展开的理论背景中讨论。
• Whittaker & Watson，《A Course of Modern Analysis》：在特殊函数与微分方程的传统体系中涉及勒让德相关内容。