Langlands Dual Group

定义 Definition

Langlands 对偶群（Langlands dual group）是与一个约化代数群 \(G\) 相对应的“对偶”复代数群，通常记为 \({}^LG\)（或其连通部分 \(\hat G\)）。它通过交换根数据中的根与余根（roots / coroots）来构造，是朗兰兹纲领中描述表示论与数论对应关系（如 \(L\)-函数、伽罗瓦表示与自守表示）的核心对象之一。
（该术语主要用于数学语境；在其他语境中较少见。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈlæŋlændz ˈduːəl ɡruːp/

例句 Examples

The Langlands dual group of \(GL_n\) is \(GL_n(\mathbb{C})\).
\(GL_n\) 的 Langlands 对偶群是 \(GL_n(\mathbb{C})\)。

In the Langlands program, the Langlands dual group helps encode how automorphic representations should correspond to Galois representations.
在朗兰兹纲领中，Langlands 对偶群用于编码自守表示应如何与伽罗瓦表示相对应。

词源 Etymology

“Langlands”来自加拿大数学家 Robert Langlands（罗伯特·朗兰兹） 的姓氏；“dual group”意为“对偶群”。该概念在朗兰兹纲领的发展中形成，用以把一个群的结构数据（根与余根、权与余权等）进行对偶交换，从而得到与原群密切相关、但在表示论与数论对应中更自然出现的对象。

相关词 Related Words

• Automorphic
• Galois
• L-group
• Root
• Coroot
• Reductive
• Representation

文学/经典著作中的出现 Literary Works

• Robert Langlands, “Problems in the Theory of Automorphic Forms”（1967 年致 Weil 的信；朗兰兹纲领的奠基文本之一）
• James Arthur, The Endoscopic Classification of Representations: Orthogonal and Symplectic Groups（多处使用对偶群与 \({}^LG\) 的框架）
• David Bump, Automorphic Forms and Representations（介绍朗兰兹纲领背景时涉及对偶群/ \(L\)-群）
• Joseph Bernstein & Stephen Gelbart 等编, An Introduction to the Langlands Program（入门性质著作，讨论 \({}^LG\) 与相关对应）
• Edward Frenkel, Langlands Correspondence for Loop Groups（系统使用 Langlands 对偶群观点）