Kummer Function

释义（中文） / Definition

Kummer 函数：数学中的一种特殊函数，通常指合流超几何函数（confluent hypergeometric function），常见记号为

• 第一类：\(M(a,b,z)\)（也写作 \({}_1F_1(a;b;z)\)）
• 第二类：\(U(a,b,z)\)
  它们常出现在微分方程、物理（如量子力学）、工程与概率论的解析解中。（该术语在不同文献中有时特指 \(M\) 或同时指 \(M\) 与 \(U\)。）

发音（IPA） / Pronunciation

/ˈkʊmər ˈfʌŋkʃən/

例句 / Examples

The Kummer function is widely used in solving differential equations.
Kummer 函数常用于求解微分方程。

In the asymptotic analysis of the Schrödinger equation, the solution can be expressed in terms of the Kummer function \(M(a,b,z)\) and the Tricomi function \(U(a,b,z)\), depending on boundary conditions.
在对薛定谔方程进行渐近分析时，解可用 Kummer 函数 \(M(a,b,z)\) 与 Tricomi 函数 \(U(a,b,z)\) 表示，具体选用取决于边界条件。

词源（简述） / Etymology

“Kummer function” 以德国数学家 Ernst Eduard Kummer（恩斯特·爱德华·库默） 命名。他在 19 世纪研究超几何级数与相关微分方程时，对合流超几何函数的理论发展做出了重要贡献，因此该类函数常以其姓氏命名。

相关词 / Related Words

• Confluent Hypergeometric Function
• Hypergeometric Function
• Tricomi Function
• Special Function
• Bessel Function
• Gamma Function
• Differential Equation
• Asymptotic Expansion

文学与典籍用例 / Notable Works

• Handbook of Mathematical Functions（Abramowitz & Stegun）——在“合流超几何函数”条目中系统使用并讨论 Kummer 函数/记号。
• *NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF)*（Olver 等）——以 \({}_1F_1\)、\(M\)、\(U\) 等形式给出性质、恒等式与数值计算要点。
• Higher Transcendental Functions（Erdélyi 等，“Bateman Manuscript Project”）——以经典“高等超越函数”体系整理相关公式与应用。
• Confluent Hypergeometric Functions（Lucy Joan Slater）——专著式整理合流超几何函数（Kummer 函数）的性质与公式。
• A Course of Modern Analysis（Whittaker & Watson）——在特殊函数与微分方程章节中涉及相关函数与表示法。