Jacobi Form

Definition / 释义

Jacobi form：雅可比形式，数论与模形式理论中的一种函数对象，兼具椭圆变换性质与模变换性质，通常依赖两个复变量（常记为 \(z\) 与 \(\tau\)）。它在研究模形式、椭圆函数、θ函数以及某些物理理论（如共形场论、弦论）中很常见。（该术语在不同文献中还会按“权”“指标”等参数作更细分。）

Pronunciation / 发音

/dʒəˈkoʊbi fɔːrm/

Examples / 例句

A Jacobi form can be expanded as a Fourier series in two variables.
雅可比形式可以展开为关于两个变量的傅里叶级数。

In the theory of modular forms, Jacobi forms connect theta functions with modular invariance and play a key role in lifting constructions.
在模形式理论中，雅可比形式把θ函数与模不变性联系起来，并在多种“提升”(lifting)构造中起关键作用。

Etymology / 词源

Jacobi 来自19世纪德国数学家 Carl Gustav Jacob Jacobi（卡尔·古斯塔夫·雅各布·雅可比）的姓氏；form 在数学语境里常指“形式/型/形式化对象”。“Jacobi form（雅可比形式）”这一术语用于指代与雅可比相关、并与θ函数与模变换深度关联的一类函数形式。

Related Words / 相关词

• Modular Form
• Theta Function
• Elliptic Function
• Cusp Form
• Eisenstein Series
• Siegel Modular Form
• Fourier Expansion
• Hecke Operator

Notable Works / 著名作品

• Martin Eichler & Don Zagier，《The Theory of Jacobi Forms》（1985）——系统奠基性专著，最常被引用的标准文献之一。
• Henryk Iwaniec，《Topics in Classical Automorphic Forms》（1997）——自守形式相关主题中涉及与雅可比形式相邻的工具与观点。
• Tom M. Apostol，《Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory》（多版）——讲解模形式与相关函数背景，常作为理解雅可比形式的入门支撑材料。