Indicator Function

释义 Definition（中文）

指示函数：在数学（尤其是集合论、测度论、概率论）中，用来“指示”某个元素是否属于某个集合的函数。对集合 \(A\)，其指示函数通常记作 \(1_A(x)\) 或 \(\mathbf{1}_A(x)\)：

• 若 \(x \in A\)，则取值为 1
• 若 \(x \notin A\)，则取值为 0
  （注：也常被称为 characteristic function；但在概率论里“characteristic function”也可能特指随机变量的特征函数 \(E[e^{itX}]\)，需结合语境区分。）

发音 Pronunciation（IPA）

/ˈɪndɪkeɪtər ˈfʌŋkʃən/

例句 Examples

Let \(f(x)\) be the indicator function of the interval \([0,1]\).
令 \(f(x)\) 为区间 \([0,1]\) 的指示函数。

Using indicator functions, we can rewrite the probability of an event as an expectation: \(P(A)=E[\mathbf{1}_A]\).
利用指示函数，我们可以把事件的概率改写为期望：\(P(A)=E[\mathbf{1}_A]\)。

词源 Etymology（中文）

indicator 来自动词 indicate（表示、指示）加后缀 -or（表示“……的人/物”），字面义是“用来指示的东西”；function 源自拉丁语 functio，指“执行、作用、功能”。合在一起，indicator function 就是“起指示作用的函数”，用 0/1 来表达“属于/不属于”。

相关词 Related Words

• Characteristic Function
• Set
• Event
• Measure
• Probability
• Expectation
• Random Variable
• Step Function

文学与经典著作 Literary Works（出现语境）

• Real and Complex Analysis — Walter Rudin（测度论与积分中常用 \(\mathbf{1}_A\)）
• Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications — Gerald B. Folland（指示函数在可测函数与积分构造中频繁出现）
• Measure Theory — Paul R. Halmos（用指示函数建立简单函数与积分理论）
• Probability and Measure — Patrick Billingsley（用 \(\mathbf{1}_A\) 将概率表达为期望等）