Index Theorem

Definition / 定义

指数定理：数学（尤其是微分几何与拓扑）中的一类定理，核心思想是把某个算子（常见为椭圆微分算子）的解析不变量（如解空间维数差，称为“指数”）与流形的拓扑/几何不变量（如特征类、曲率积分等）联系起来。最著名的是阿蒂亚–辛格指数定理（Atiyah–Singer index theorem）。
（在不同语境下还有更具体的“指数定理”版本，例如黎曼–罗赫型结果等。）

Pronunciation / 发音

/ˈɪndeks ˈθiːərəm/

Examples / 例句

The Atiyah–Singer index theorem connects analysis with topology.
阿蒂亚–辛格指数定理把分析与拓扑联系起来。

In modern geometry, an index theorem can translate a difficult question about differential operators into computable topological invariants.
在现代几何中，指数定理可以把关于微分算子的困难问题转化为可计算的拓扑不变量。

Etymology / 词源

index 源自拉丁语 index，本义为“指示者、目录、索引”，在数学里引申为“指标/指数”（一种刻画性质的数值）。theorem 源自希腊语 theōrēma，意为“可被观看/被证明之事”，即“定理”。合起来 index theorem 就是“关于指数（指标）的定理”，在现代数学中特指“把算子的指数与拓扑量对应起来的定理”。

Related Words / 相关词

• Atiyah–Singer
• Elliptic
• Operator
• Topology
• Manifold
• Invariant
• Characteristic Class
• Fredholm

Literary Works / 文学作品

• The Atiyah-Singer Index Theorem: An Introduction（Peter B. Gilkey）
• Spin Geometry（H. B. Lawson, M.-L. Michelsohn）
• Elliptic Operators, Topology and Asymptotic Methods（John Roe）
• Heat Kernels and Dirac Operators（Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne）
• Gauge Fields, Knots and Gravity（John C. Baez, Javier P. Muniain）