Incomplete Elliptic Integral

Definition / 定义

不完全椭圆积分：一类特殊函数积分，积分上限不是固定的常数（因此称为“不完全”），常以角度参数（幅角 φ）以及模数 k（或参数 m=k²）来表示，常见于物理与工程中的周期运动、摆动、场论与几何计算等。常见类型包括第一类 \(F(\varphi,k)\)、第二类 \(E(\varphi,k)\)（以及第三类 \(\Pi(\varphi,n,k)\)）。

Pronunciation / 发音（IPA）

/ˌɪnkəmˈpliːt ɪˈlɪptɪk ˈɪntɪɡrəl/

Examples / 例句

The incomplete elliptic integral appears when computing the arc length of an ellipse.
不完全椭圆积分会出现在计算椭圆弧长时。

To model the pendulum’s motion at large amplitudes, we evaluate an incomplete elliptic integral of the first kind \(F(\varphi,k)\).
为了在大振幅下描述单摆运动，我们需要计算第一类不完全椭圆积分 \(F(\varphi,k)\)。

Etymology / 词源

incomplete 来自拉丁语 *in-*（否定）+ completus（完成的），表示“未完成、未取到全程”。elliptic 源于希腊语 elleipsis（“缺少、亏量”），与“椭圆”及其相关曲线性质有关；integral 来自拉丁语 integer（完整的），在数学中指“积分”。合起来表示：与椭圆相关、但积分上限（或幅角）未取到“完整范围”的积分形式。

Related Words / 相关词汇

• Elliptic Integral
• Complete Elliptic Integral
• Legendre Form
• Modulus
• Amplitude
• Elliptic Function
• Jacobi Elliptic Function
• Numerical Integration
• Special Function

Literary Works / 文献与著作中的出现

• Handbook of Mathematical Functions（Abramowitz & Stegun）：以表格与公式形式系统收录不完全椭圆积分及其性质。
• *NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF)*：现代权威参考，详述不完全椭圆积分的定义、恒等式与数值计算。
• Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Physicists（Byrd & Friedman）：面向工程与物理应用的大量不完全椭圆积分公式与变换。
• A Course of Modern Analysis（Whittaker & Watson）：在椭圆函数与相关积分的理论框架中讨论不完全椭圆积分。