Hook Length Formula

定义 Definition

hook length formula（钩长公式）：组合数学与表示论中的一个经典公式，用来计算给定形状的杨表（Young diagram）对应的标准杨表（standard Young tableaux）数量；等价地，也可用于求对称群不可约表示的维数。其核心做法是把每个格子的“钩长（hook length）”相乘，再用形状大小的阶乘去除。

发音 Pronunciation (IPA)

/hʊk leŋθ ˈfɔːrmjələ/

例句 Examples

The hook length formula gives the number of standard Young tableaux of a given shape.
钩长公式给出了某一给定形状的标准杨表的数量。

Using the hook length formula, we can compute the dimension of an irreducible representation of the symmetric group associated with a partition.
利用钩长公式，我们可以计算与某个分拆对应的对称群不可约表示的维数。

词源 Etymology

“hook（钩）”来自杨图中每个格子的钩形：该格子右侧同一行的格子与下方同一列的格子（通常包含它自身）构成一个像“钩子”的集合；“length（长度）”指该钩中格子的数量；“formula（公式）”表明这是一个可直接计算的表达式。该公式常与Frame–Robinson–Thrall（20世纪中期）等人的工作相关，是代数组合中的重要结果。

相关词 Related Words

• Partition
• Young Diagram
• Young Tableau
• Standard Young Tableau
• Symmetric Group
• Representation Theory
• Ferrers Diagram
• Schur Function

文学与经典著作中的出现 Literary Works

• Young Tableaux: With Applications to Representation Theory and Geometry — William Fulton（系统讲解杨表与相关计数结果，包含钩长公式的核心应用）
• Enumerative Combinatorics, Volume 2 — Richard P. Stanley（计数组合学经典教材，讨论标准杨表计数与钩长公式）
• The Symmetric Group: Representations, Combinatorial Algorithms, and Symmetric Functions — Bruce E. Sagan（以对称群表示与算法为主线，涵盖钩长公式及其用法）