Homogeneous Function

定义 Definition

齐次函数：在数学中，若函数 \(f\) 满足对任意实数 \(t\)（通常取 \(t>0\)）都有
\[ f(tx_1,tx_2,\dots,tx_n)=t^k f(x_1,x_2,\dots,x_n), \] 则称 \(f\) 为\(k\) 次齐次函数（或“\(k\) 阶齐次函数”）。其中 \(k\) 称为齐次次数/阶数（degree of homogeneity）。
（在更广泛语境里，“homogeneous”也可指“同质的/均匀的”，但此处为最常见的数学义。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌhɒməˈdʒiːniəs ˈfʌŋkʃən/

例句 Examples

A linear function is a homogeneous function of degree 1.
线性函数是一次齐次函数。

If the production function is homogeneous of degree one, doubling all inputs doubles output.
如果生产函数是一阶（一次）齐次的，把所有投入加倍会使产出加倍。

词源 Etymology

homogeneous 来自希腊语词根 homo-（“相同”）与 -gen- / genos（“种类、产生”）相关，原义偏向“同类/同质”。function 源自拉丁语 functio（“执行、履行”），在数学中逐渐固定为“函数”的专门意义。合起来在数学里表示“具有尺度缩放规律的函数”。

相关词 Related Words

• Homogeneous
• Homogeneity
• Degree
• Scaling
• Proportional
• Linear
• Euler’s Theorem
• Cobb-Douglas

文学与经典著作中的用例 Literary Works

• Leonhard Euler, Institutiones Calculi Differentialis（《微分学原理》）：讨论齐次函数与相关定理（如“欧拉齐次函数定理”）的经典来源之一。
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis（《数学分析原理》）：在多元分析与函数性质的讨论中涉及齐次性/尺度性质的相关表述。
• Tom M. Apostol, Calculus（《微积分》）：在多元函数与欧拉定理等主题中常出现“homogeneous function”的标准用法。