Hom Functor

Definition 定义

Hom functor（同态函子/同构映射集函子）：范畴论中的一种基本函子，把一对对象 \(A,B\) 之间的态射集合（记作 \(\mathrm{Hom}(A,B)\)）作为输出。常见形式有两种：

• 协变 Hom 函子：\(\mathrm{Hom}(A,-)\)（固定左边对象 \(A\)，对右边变量协变）
• 反变 Hom 函子：\(\mathrm{Hom}(-,B)\)（固定右边对象 \(B\)，对左边变量反变）
  它把“对象之间的映射”系统化地组织起来，是表述Yoneda 引理、可表示函子、伴随等概念的核心工具。

Pronunciation 发音（IPA）

/hɒm ˈfʌŋktər/

Examples 例句

In this category, the hom functor sends each object to the set of morphisms from \(A\) to it.
在这个范畴中，Hom 函子把每个对象映到从 \(A\) 到它的态射集合。

Using the hom functor, we can express naturality conditions and derive the Yoneda lemma in a uniform way.
借助 Hom 函子，我们可以统一地表述自然性条件，并推导出 Yoneda 引理。

Etymology 词源

hom 来自 homomorphism（同态），在数学中常简写为 “Hom”，用来表示“同态/态射的集合”。functor（函子）源自拉丁语 functor，在现代数学里被用作专门术语，表示“在范畴之间保持结构的映射”。合起来 Hom functor 字面就是“把 Hom（态射集）作为输出的函子”。

Related Words 相关词

• Adjoint
• Category
• Contravariant
• Covariant
• Functor
• Homomorphism
• Morphism
• Natural Transformation
• Representable
• Yoneda Lemma

Literary Works 作品出处

• Saunders Mac Lane，《Categories for the Working Mathematician》（《为工作数学家写的范畴论》）
• Steve Awodey，《Category Theory》（《范畴论》）
• Tom Leinster，《Basic Category Theory》（《基础范畴论》）
• Mac Lane & Ieke Moerdijk，《Sheaves in Geometry and Logic》
• Grothendieck 等，《SGA / EGA》系列（代数几何与层论经典文献中频繁使用 Hom 函子表述）