Hilbert Class Field

释义 Definition（中文）

Hilbert类域（希尔伯特类域）：在代数数论中，给定一个数域 \(K\)，其Hilbert类域是 \(K\) 的最大无分歧阿贝尔扩张（在所有有限素处都无分歧；常见表述也会结合无穷处的约定）。它的伽罗瓦群与 \(K\) 的理想类群同构，是类域论的核心对象之一。（在函数域或不同约定下，细节表述可能略有差异。）

发音 Pronunciation（IPA）

/ˈhɪlbərt klæs fiːld/

例句 Examples

The Hilbert class field of a number field is its maximal unramified abelian extension.
一个数域的Hilbert类域是它的最大无分歧阿贝尔扩张。

Using class field theory, one can relate the Galois group of the Hilbert class field to the ideal class group of the base field.
借助类域论，可以把Hilbert类域的伽罗瓦群与底域的理想类群联系起来。

词源 Etymology（中文）

该术语以德国数学家David Hilbert（大卫·希尔伯特）命名；“class field（类域）”源于理想类群（class group）与对应的阿贝尔扩张之间的关系。Hilbert类域最典型地体现了“类域论”中“类群 ↔ 阿贝尔扩张”的对应思想。

相关词 Related Words

• Abelian Extension
• Class Field Theory
• Class Group
• Galois Group
• Ideal Class Group
• Ramification
• Unramified Extension

文学与经典著作 Literary Works（出现示例）

• Emil Artin & John Tate, Class Field Theory（类域论讲义中反复使用该概念）
• Jürgen Neukirch, Algebraic Number Theory（讨论类域论与Hilbert类域的标准教材）
• David A. Cox, Primes of the Form \(x^2 + ny^2\)（以二次虚数域为背景多次提及Hilbert类域）
• Serge Lang, Algebraic Number Theory（类域论框架下的核心对象之一）
• Daniel A. Marcus, Number Fields（入门教材中常以Hilbert类域连接类群与扩张）