Hall–Littlewood Polynomial

定义 Definition

Hall–Littlewood polynomial（霍尔–利特尔伍德多项式）是一类重要的对称多项式/对称函数 \(P_\lambda(x;t)\)，由分拆 \(\lambda\) 与参数 \(t\) 依赖地定义。它在 \(t\) 的不同取值下连接并推广了多种经典对象：例如在特定规范下，\(t=0\) 时与 Schur 多项式密切相关，而在 \(t=1\) 时退化为更简单的对称函数形式。它广泛用于代数组合、表示论以及与有限群/代数结构相关的计数问题中。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌhɔːl ˈlɪtəlˌwʊd ˌpɒlɪˈnoʊmiəl/

例句 Examples

The Hall–Littlewood polynomial depends on a parameter \(t\).
霍尔–利特尔伍德多项式依赖于一个参数 \(t\)。

In the theory of symmetric functions, Hall–Littlewood polynomials interpolate between Schur functions and other bases, and their coefficients encode rich combinatorial data.
在对称函数理论中，霍尔–利特尔伍德多项式在 Schur 函数与其他基之间起到“插值”作用，其系数蕴含丰富的组合信息。

词源 Etymology

该术语以两位英国数学家命名：Philip Hall（菲利普·霍尔）与 D. E. Littlewood（利特尔伍德）。它们最初出现在对称函数与“Hall 代数/ Hall 多项式”等相关研究脉络中，后来被系统化为一套与参数 \(t\) 相关的对称多项式族，并成为更一般理论（如 Macdonald 多项式理论）的重要组成部分。

相关词 Related Words

• Schur Polynomial
• Macdonald Polynomial
• Symmetric Function
• Partition
• Young Tableau
• Kostka Polynomial
• Representation Theory
• Generating Function

文学与名著用例 Literary Works

• I. G. Macdonald, Symmetric Functions and Hall Polynomials（该书系统讨论 Hall–Littlewood 多项式及其与 Hall 多项式、对称函数基之间的关系）
• William Fulton, Young Tableaux（涉及与 Schur 函数、表与相关对称函数体系；常与 Hall–Littlewood 多项式的背景一起出现）
• Richard P. Stanley, Enumerative Combinatorics, Vol. 2（在对称函数与组合结构的章节中常会提及或使用相关多项式/函数族）