Generalized Schur Decomposition

定义 Definition

广义舒尔分解（Generalized Schur Decomposition）是数值线性代数中用于一对矩阵（通常记为 \(A, B\)）的分解方法，也常被称为 QZ 分解。它把矩阵对通过酉/正交变换化为（准）上三角形式，从而便于求解广义特征值问题 \(A x = \lambda B x\)。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌdʒenərəlaɪzd ʃʊr ˌdiːkɑːmpəˈzɪʃən/

例句 Examples

Generalized Schur decomposition is used to compute generalized eigenvalues of a matrix pair.
广义舒尔分解用于计算一对矩阵的广义特征值。

In robust control and numerical analysis, the generalized Schur decomposition (QZ algorithm) helps transform \((A,B)\) into quasi-upper-triangular forms, improving the stability of solving \(A x = \lambda B x\).
在鲁棒控制与数值分析中，广义舒尔分解（QZ 算法）可将 \((A,B)\) 变换为准上三角形式，从而提高求解 \(A x = \lambda B x\) 的稳定性。

词源 Etymology

• Schur（舒尔）来自德国数学家 Issai Schur（伊赛·舒尔）的姓氏；“Schur decomposition（舒尔分解）”原本指单个矩阵的酉相似变换分解。
• Generalized（广义的）表示将概念从“单个矩阵”扩展到“矩阵对 \((A,B)\)”以及广义特征值问题。
• Decomposition（分解）源自拉丁语词根，含义是“拆开、分成部分”，在数学里指把对象表示为更易处理的结构。

相关词 Related Words

• Algorithm
• Decomposition
• Eigenvalue
• Eigenvector
• Factorization
• Hessenberg
• Matrix
• Orthogonal
• QZ
• Schur
• Similarity
• Triangular
• Unitary

文学与经典出处 Literary Works

• Golub & Van Loan, Matrix Computations：介绍广义特征值问题与 QZ/广义舒尔分解的标准教材之一。
• Stewart & Sun, Matrix Perturbation Theory：讨论特征值问题的扰动与稳定性分析，涉及广义舒尔形式。
• LAPACK Users’ Guide：在广义特征值求解例程（如 QZ 相关例程）中使用并解释该分解。
• Trefethen & Bau, Numerical Linear Algebra：讲解矩阵分解与数值稳定性背景，关联到 Schur 形式及其推广思路。