Galois Extension

Definition / 定义

Galois extension（伽罗瓦扩张）：在抽象代数/域论中，指一个域扩张 \(L/K\) 同时满足正规（normal）与可分（separable）这两个条件。直观地说，这类扩张的“对称性”可以用其伽罗瓦群（Galois group）来完整刻画；这是伽罗瓦理论的核心对象。
（在不同数学语境下也会有更一般或更具体的表述，但以上是最常见的标准定义。）

Pronunciation / 发音

/ɡæˈlwɑː ɪkˈstɛnʃən/

Examples / 例句

A Galois extension has a well-defined Galois group.
伽罗瓦扩张有一个定义良好的伽罗瓦群。

If \(L/K\) is a Galois extension, there is a correspondence between subfields of \(L\) and subgroups of \(\mathrm{Gal}(L/K)\).
如果 \(L/K\) 是伽罗瓦扩张，那么 \(L\) 的子域与 \(\mathrm{Gal}(L/K)\) 的子群之间存在对应关系。

Etymology / 词源

Galois 来自法国数学家 Évariste Galois（埃瓦里斯特·伽罗瓦） 的姓氏，他在 19 世纪提出并奠定了伽罗瓦理论，用群来研究多项式方程的可解性与域扩张结构。extension 源自拉丁语 extendere（“展开、延伸”），在数学中被专门化为“扩张/扩大结构”的含义，尤其常指“域扩张”。

Related Words / 相关词

• Field
• Extension
• Galois Group
• Normal Extension
• Separable Extension
• Splitting Field
• Automorphism
• Fundamental Theorem of Galois Theory
• Algebraic Closure

Literary Works / 文学与经典著作中的用例

• Évariste Galois，《Œuvres mathématiques》（《数学著作》）——伽罗瓦思想的原始文献汇编中相关概念的源头语境。
• Emil Artin，《Galois Theory》（《伽罗瓦理论》）——经典讲义式著作，系统使用“Galois extension”等术语。
• Serge Lang，《Algebra》（《代数》）——标准代数教材中以“Galois extension”阐述域扩张与对称性。
• David S. Dummit & Richard M. Foote，《Abstract Algebra》（《抽象代数》）——广泛使用该术语讲解基本伽罗瓦理论。
• Jürgen Neukirch，《Algebraic Number Theory》（《代数数论》）——在数域/局部域背景下频繁出现“Galois extension”。