Fixed Point Theorem

定义 Definition

不动点定理：一类数学定理，说明在某些条件下，一个函数（或映射）一定存在不动点——也就是某个点 \(x\) 满足 \(f(x)=x\)。常见形式包括 Banach 不动点定理（压缩映射）与 Brouwer 不动点定理（连续映射在紧凸集上）。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌfɪkst ˈpɔɪnt ˈθiːərəm/

例句 Examples

The fixed point theorem guarantees that a solution exists.
不动点定理保证解的存在。

Using the Banach fixed point theorem, we can prove convergence of the iterative method in a complete metric space.
利用巴拿赫不动点定理，我们可以证明在完备度量空间中该迭代方法的收敛性。

词源 Etymology

“fixed point”字面意思是“固定的点”，指在映射作用下保持不变的点（\(f(x)=x\)）。“theorem”来自希腊语 theōrēma，意为“可被证明的命题”。因此“fixed point theorem”就是“关于不动点存在性的定理”。这一类思想在分析学、拓扑学与泛函分析中发展成熟，并广泛用于证明“存在性”和“收敛性”。

相关词 Related Words

• Contraction
• Continuity
• Convergence
• Compactness
• Convex
• Metric Space
• Topology
• Existence
• Iterative

文学与名著出处 Literary Works

• Stefan Banach, Théorie des opérations linéaires（1932）：与压缩映射原理相关的不动点思想在泛函分析中系统化。
• L. E. J. Brouwer 的拓扑学论文（20世纪初）：提出并发展 Brouwer 不动点定理。
• Walter Rudin, Functional Analysis：讲解度量空间、压缩映射与不动点方法。
• Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations：用不动点定理证明某些偏微分方程解的存在性。
• Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications：大量使用不动点定理处理非线性问题。