Directed Set

定义 Definition

directed set（有向集/定向集）：在数学（序理论、拓扑、范畴论）中，指一个带有预序或偏序的集合，使得对任意两个元素 \(a,b\)，都存在一个元素 \(c\)，满足 \(a \le c\) 且 \(b \le c\)。直观上，它保证“任意两点都能被某个共同的更大（或更靠后）元素统一起来”，常用于定义网（net）与极限。

发音 Pronunciation (IPA)

/dɪˈrɛktɪd sɛt/

例句 Examples

A directed set is used to index a net.
有向集常用来给网（net）提供指标（索引）。

In topology, nets indexed by a directed set generalize sequences and allow convergence to be defined in spaces that are not first-countable.
在拓扑学中，用有向集作指标的网推广了数列，使得在非第一可数的空间里也能定义收敛。

词源 Etymology

directed 源自拉丁语词根 dirigere（“引导、指向、使笔直”），在此表示“朝某个方向被组织起来的”；set 表示“集合”。合起来在数学里专指一种“可共同上界化”的（预）有序集合结构。该术语是现代序理论与拓扑学发展中形成的标准用语。

相关词 Related Words

• Directed
• Set
• Partial Order
• Preorder
• Upper Bound
• Net
• Filter
• Cofinal
• Poset

文献与作品 Literary / Notable Works

• General Topology（John L. Kelley）：在用网（nets）刻画收敛时系统使用有向集。
• Topology（James R. Munkres）：在讨论更一般的收敛概念时提及以有向集为指标的网。
• Categories for the Working Mathematician（Saunders Mac Lane）：在范畴论语境中与“有向系统/直极限（direct limit）”等概念相关联。
• Topological Vector Spaces（Nicolas Bourbaki）：在泛函分析与拓扑结构的框架中使用有向集与网的语言。