Differential Topology

定义 Definition

微分拓扑：研究光滑流形（smooth manifolds）及其之间的光滑映射（smooth maps）的拓扑性质的数学分支。它常用微积分与几何方法来理解“形状”在光滑意义下如何变化（如嵌入、浸入、横截性、同伦与同胚的光滑版本等）。该术语在不同语境下也可能与“微分几何”相邻但侧重点不同。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌdɪfəˈrɛnʃəl təˈpɑːlədʒi/

词源 Etymology

differential 源自拉丁语 differentia（差异、区别），在数学中引申为“与微分、导数相关的”。topology 来自希腊语 topos（地方、位置）+ -logia（学科、研究），意为“研究空间与形状的性质”。合起来，differential topology 指“用微分（光滑）结构研究拓扑性质”的领域名称。

例句 Examples

Differential topology studies smooth manifolds and smooth maps between them.
微分拓扑研究光滑流形以及它们之间的光滑映射。

Using transversality, differential topology can show that “most” smooth maps are well-behaved after a small perturbation.
利用横截性理论，微分拓扑可以说明在做一个很小的扰动后，“大多数”光滑映射都会表现得更规整（性质更好）。

相关词 Related Words

• Differential
• Topology
• Manifold
• Smooth
• Diffeomorphism
• Transversality
• Homotopy
• Embedding

文学与经典著作 Literary Works

• Victor Guillemin & Alan Pollack, Differential Topology
• Morris W. Hirsch, Differential Topology
• John Milnor, Topology from the Differentiable Viewpoint（书名虽不直接同名，但核心内容与“微分拓扑”高度相关，且常出现该术语）
• Ralph Abraham & Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics（在相关章节中频繁使用微分拓扑语言，如横截性、流形与光滑映射）