Convergence in Measure

定义 Definition

Convergence in measure（按测度收敛）是测度论与概率论中的一种收敛概念：在给定测度空间上，函数列 \(f_n\) 以测度意义收敛到 \(f\)，指对任意 \(\varepsilon>0\)，满足
\[ \mu\big(\{x:\ |f_n(x)-f(x)|>\varepsilon\}\big)\to 0 \quad (n\to\infty). \] 直观地说：当 \(n\) 越来越大时，“偏差超过 \(\varepsilon\)”的那部分点集所占的“测度大小”趋近于零。

发音 Pronunciation (IPA)

/kənˈvɝːdʒəns ɪn ˈmɛʒɚ/

例句 Examples

A sequence of functions may converge in measure without converging pointwise.
一列函数可能按测度收敛，但不逐点收敛。

In a finite measure space, convergence in measure often pairs with subsequence arguments to obtain almost everywhere convergence.
在有限测度空间中，按测度收敛常与取子列的论证结合，用来推出“几乎处处收敛”。

词源 Etymology

convergence来自拉丁语 convergere（“汇聚到一起”），由 *con-*（“共同”）+ vergere（“转向、倾向”）构成；measure在数学语境中指“测度”，即对集合“大小”的抽象刻画。因此 convergence in measure 字面意思就是“在测度意义下的汇聚/收敛”，强调误差集合的测度趋于零。

相关词 Related Words

• Almost Everywhere
• Convergence
• Convergence In Probability
• Dominated Convergence Theorem
• Egorov's Theorem
• L^p
• Measure
• Pointwise Convergence

文学与经典著作 Literary Works

• H. L. Royden & P. M. Fitzpatrick, Real Analysis（《实分析》）
• Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications
• Walter Rudin, Real and Complex Analysis（《实与复分析》）
• Patrick Billingsley, Probability and Measure（《概率与测度》）
• Vladimir I. Bogachev, Measure Theory（《测度论》）