支配收敛定理：在测度论与积分理论中，如果一列可测函数 \(f_n\) 几乎处处收敛到 \(f\)，并且存在一个可积函数 \(g\) 使得对所有 \(n\) 都有 \(|f_n|\le g\)（称 \(g\) “支配”这列函数），那么可以把“极限”和“积分”交换： \[ \lim_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu=\int \lim_{n\to\infty} f_n\,d\mu=\int f\,d\mu, \] 并且通常还能推出 \(\int |f_n-f|\,d\mu\to 0\)。
/ˈdɑːmɪˌneɪtɪd kənˈvɝːdʒəns ˈθiːərəm/
The dominated convergence theorem lets us move the limit inside the integral.
支配收敛定理让我们可以把极限移到积分号里面。
Since \(|f_n(x)|\le g(x)\) and \(f_n\to f\) almost everywhere, the dominated convergence theorem implies \(\int f_n\,d\mu\to\int f\,d\mu\).
由于 \(|f_n(x)|\le g(x)\) 且 \(f_n\) 在几乎处处意义下收敛到 \(f\)，支配收敛定理推出 \(\int f_n\,d\mu\to\int f\,d\mu\)。
“dominated” 来自拉丁语词根 domin- / dominari（“支配、控制”），在这里指用一个可积的“上界函数” \(g\) 把整列函数 \(|f_n|\) 统一控制住；“convergence” 表示收敛；“theorem” 表示定理。合起来强调：在被可积函数支配的条件下，收敛与积分可良好交换。
Select Language