Complete Elliptic Integral

释义 Definition

完全椭圆积分：数学中的一类特殊函数，指椭圆积分在“完整区间”（通常对应一个完整象限或一个完整周期）上的取值，常写为 **K(k)**（第一类完全椭圆积分）与 **E(k)**（第二类完全椭圆积分）。它们常出现在摆的周期、椭圆弧长、静电/引力场计算、以及某些微分方程的解中。（椭圆积分还有“不完全”形式等其他相关概念。）

发音 Pronunciation (IPA)

/kəmˈpliːt ɪˈlɪptɪk ˈɪntɪɡrəl/

词源 Etymology

“Elliptic integral（椭圆积分）”最初因与椭圆弧长计算密切相关而得名；“complete（完全的）”表示积分的变量范围取到一个“完整”的标准区间（与 incomplete 不完全椭圆积分相对），在经典的勒让德（Legendre）形式中常体现为积分上限达到固定终点，从而得到只依赖于模数/参数的函数值。

例句 Examples

The period of a simple pendulum can be expressed using a complete elliptic integral.
单摆的周期可以用完全椭圆积分来表示。

In the Legendre form, the complete elliptic integral of the first kind \(K(k)\) becomes singular as \(k \to 1\), which is important in analyzing limiting behavior in physics and geometry.
在勒让德形式中，第一类完全椭圆积分 \(K(k)\) 当 \(k \to 1\) 时会出现奇异性，这一点对分析物理与几何中的极限行为很重要。

相关词 Related Words

• Elliptic Integral
• Incomplete Elliptic Integral
• Modulus
• Parameter
• Legendre Form
• Jacobi Elliptic Function
• Complete Elliptic Integral Of The First Kind
• Complete Elliptic Integral Of The Second Kind

文献与名著中的用例 Literary & Notable Works

• Handbook of Mathematical Functions（Abramowitz & Stegun，《数学函数手册》）：在特殊函数章节中系统收录并讨论 \(K(k)\)、\(E(k)\) 等完全椭圆积分。
• NIST Digital Library of Mathematical Functions（NIST《数学函数数字图书馆》）：给出完全椭圆积分的定义、性质、数值计算与近似展开。
• Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Scientists（Byrd & Friedman，《工程与科学中的椭圆积分手册》）：大量工程物理问题中直接使用完全椭圆积分表达式。
• A Course of Modern Analysis（Whittaker & Watson，《现代分析教程》）：在复分析与特殊函数背景下涉及椭圆积分及其相关理论。