Compactness Theorem

释义 Definition

紧致性定理：在（最常见语境下的）一阶逻辑中，如果一个理论/公式集合的每个有限子集都是可满足的（有某个模型使其为真），那么整个集合也是可满足的。它常被用来把“对所有有限情况成立”提升为“对无限整体也成立”的结论。（在拓扑学中也有同名“紧致性”概念，但“compactness theorem”通常指逻辑中的这一定理。）

发音 Pronunciation (IPA)

/kəmˈpæktnəs ˈθiːərəm/

例句 Examples

The compactness theorem is a central result in first-order logic.
紧致性定理是一阶逻辑中的核心结论。

Using the compactness theorem, we can show that if every finite subset of constraints is satisfiable, then the entire infinite set has a model.
利用紧致性定理，我们可以证明：如果约束的每个有限子集都可满足，那么整个无限约束集也存在一个模型。

词源 Etymology

compactness 来自拉丁语 compactus（意为“紧密结合的、压实的”），在数学里引申为“在有限信息下保持整体性质”的直觉；theorem 来自希腊语 theōrēma（意为“被观看/被证明之物”）。作为逻辑术语的“紧致性定理”在20世纪模型论与数理逻辑发展中被系统化，并成为一阶逻辑的重要支柱之一。

相关词 Related Words

• Compactness
• Compact
• Satisfiable
• Satisfaction
• Consistency
• Model
• First-Order Logic
• Completeness Theorem
• Löwenheim–Skolem Theorem

文学与经典著作 Literary Works

• A Mathematical Introduction to Logic（Herbert B. Enderton）——在一阶逻辑章节中系统呈现紧致性定理及其应用
• Model Theory（C. C. Chang & H. J. Keisler）——模型论经典教材，紧致性定理是核心工具之一
• Model Theory（Wilfrid Hodges）——对紧致性定理的证明、等价形式与应用有较完整论述
• Model Theory: An Introduction（David Marker）——以较清晰的方式讲解紧致性定理及典型应用（如可满足性、构造模型）